2つの連立方程式 $\begin{cases} -x + 2y = 8 \\ ax - by = -9 \end{cases}$ と $\begin{cases} -2x + y = 7 \\ -bx + ay = 11 \end{cases}$ が同じ解を持つとき、$a, b$ の値を求めます。

1. 問題の内容

2つの連立方程式

$\begin{cases} -x + 2y = 8 \\ ax - by = -9 \end{cases}$

と

$\begin{cases} -2x + y = 7 \\ -bx + ay = 11 \end{cases}$

が同じ解を持つとき、$a, b$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、2つの連立方程式のうち、$x$ と $y$ の係数がわかっているものから解を求めます。

$\begin{cases} -x + 2y = 8 \\ -2x + y = 7 \end{cases}$

上の式を2倍すると

$\begin{cases} -2x + 4y = 16 \\ -2x + y = 7 \end{cases}$

上の式から下の式を引くと

$3y = 9$

$y = 3$

$y = 3$ を $-x + 2y = 8$ に代入すると

$-x + 2(3) = 8$

$-x + 6 = 8$

$-x = 2$

$x = -2$

よって、連立方程式の解は $x = -2, y = 3$ です。

この解を $ax - by = -9$ と $-bx + ay = 11$ に代入します。

$\begin{cases} a(-2) - b(3) = -9 \\ -b(-2) + a(3) = 11 \end{cases}$

整理すると

$\begin{cases} -2a - 3b = -9 \\ 3a + 2b = 11 \end{cases}$

上の式を2倍、下の式を3倍すると

$\begin{cases} -4a - 6b = -18 \\ 9a + 6b = 33 \end{cases}$

上の式と下の式を足すと

$5a = 15$

$a = 3$

$a = 3$ を $-2a - 3b = -9$ に代入すると

$-2(3) - 3b = -9$

$-6 - 3b = -9$

$-3b = -3$

$b = 1$

3. 最終的な答え

$a = 3$, $b = 1$