次の3つの式を計算します。 (1) $\frac{1}{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}$ (2) $\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}-\sqrt{2}}$ (3) $\frac{\sqrt{2}+\sqrt{5}+\sqrt{7}}{\sqrt{2}+\sqrt{5}-\sqrt{7}}+\frac{\sqrt{2}-\sqrt{5}+\sqrt{7}}{\sqrt{2}-\sqrt{5}-\sqrt{7}}$

はい、承知しました。画像にある数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

次の3つの式を計算します。

(1) $\frac{1}{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}$

(2) $\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}-\sqrt{2}}$

(3) $\frac{\sqrt{2}+\sqrt{5}+\sqrt{7}}{\sqrt{2}+\sqrt{5}-\sqrt{7}}+\frac{\sqrt{2}-\sqrt{5}+\sqrt{7}}{\sqrt{2}-\sqrt{5}-\sqrt{7}}$

2. 解き方の手順

(1) 分母の有理化を行います。

$\frac{1}{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}=\frac{1}{(1+\sqrt{2})-\sqrt{3}}$

分母と分子に $(1+\sqrt{2})+\sqrt{3}$ をかけます。

$\frac{(1+\sqrt{2})+\sqrt{3}}{((1+\sqrt{2})-\sqrt{3})((1+\sqrt{2})+\sqrt{3})}=\frac{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}{(1+\sqrt{2})^2-(\sqrt{3})^2}$

$=\frac{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}{1+2\sqrt{2}+2-3}=\frac{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$

さらに分母の有理化を行うため、分母と分子に $\sqrt{2}$ をかけます。

$\frac{(1+\sqrt{2}+\sqrt{3})\sqrt{2}}{2\sqrt{2}\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}+2+\sqrt{6}}{4}$

(2) 分母の有理化を行います。

$\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}-\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{5}+\sqrt{3})+\sqrt{2}}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})-\sqrt{2}}$

分母と分子に $(\sqrt{5}+\sqrt{3})+\sqrt{2}$ をかけます。

$\frac{((\sqrt{5}+\sqrt{3})+\sqrt{2})^2}{((\sqrt{5}+\sqrt{3})-\sqrt{2})((\sqrt{5}+\sqrt{3})+\sqrt{2})} = \frac{(\sqrt{5}+\sqrt{3}+\sqrt{2})^2}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2}$

$(\sqrt{5}+\sqrt{3}+\sqrt{2})^2 = (\sqrt{5})^2 + (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{5}\sqrt{3} + 2\sqrt{5}\sqrt{2} + 2\sqrt{3}\sqrt{2} = 5 + 3 + 2 + 2\sqrt{15} + 2\sqrt{10} + 2\sqrt{6} = 10 + 2\sqrt{15} + 2\sqrt{10} + 2\sqrt{6}$

$(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2 = 5 + 2\sqrt{15} + 3 - 2 = 6 + 2\sqrt{15}$

$\frac{10 + 2\sqrt{15} + 2\sqrt{10} + 2\sqrt{6}}{6 + 2\sqrt{15}} = \frac{5 + \sqrt{15} + \sqrt{10} + \sqrt{6}}{3 + \sqrt{15}}$

さらに分母の有理化を行うため、分母と分子に $3 - \sqrt{15}$ をかけます。

$\frac{(5 + \sqrt{15} + \sqrt{10} + \sqrt{6})(3 - \sqrt{15})}{(3 + \sqrt{15})(3 - \sqrt{15})} = \frac{15 - 5\sqrt{15} + 3\sqrt{15} - 15 + 3\sqrt{10} - \sqrt{150} + 3\sqrt{6} - \sqrt{90}}{9 - 15} = \frac{-2\sqrt{15} + 3\sqrt{10} - 5\sqrt{6} + 3\sqrt{6} - 3\sqrt{10}}{-6} = \frac{-2\sqrt{15} - 2\sqrt{6} }{-6} = \frac{\sqrt{15}+\sqrt{6}}{3}$

(3)

$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{5}+\sqrt{7}}{\sqrt{2}+\sqrt{5}-\sqrt{7}}+\frac{\sqrt{2}-\sqrt{5}+\sqrt{7}}{\sqrt{2}-\sqrt{5}-\sqrt{7}} = \frac{(\sqrt{2}+\sqrt{5})^2 - (\sqrt{7})^2 + (\sqrt{2}-\sqrt{5})^2 - (\sqrt{7})^2}{(\sqrt{2}+\sqrt{5})^2-(\sqrt{7})^2 - ( (\sqrt{2}-\sqrt{5})^2-(\sqrt{7})^2) }$

$= \frac{(\sqrt{2}+\sqrt{5})^2 + (\sqrt{2}-\sqrt{5})^2}{(\sqrt{2}+\sqrt{5}-\sqrt{7})(\sqrt{2}+\sqrt{5}+\sqrt{7})}+ \frac{(\sqrt{2}-\sqrt{5}+\sqrt{7})(\sqrt{2}-\sqrt{5}+\sqrt{7})}{(\sqrt{2}-\sqrt{5}-\sqrt{7})(\sqrt{2}-\sqrt{5}+\sqrt{7})}$

$= \frac{ (\sqrt{2}+\sqrt{5}+\sqrt{7}) (\sqrt{2}+\sqrt{5}+\sqrt{7}) }{ (\sqrt{2}+\sqrt{5})^2-(\sqrt{7})^2 } + \frac{ (\sqrt{2}-\sqrt{5}+\sqrt{7}) (\sqrt{2}-\sqrt{5}+\sqrt{7}) }{ (\sqrt{2}-\sqrt{5})^2-(\sqrt{7})^2 }$

$= \frac{(\sqrt{2}+\sqrt{5}+\sqrt{7})(\sqrt{2}+\sqrt{5}+\sqrt{7})}{2+2\sqrt{10}+5-7} + \frac{(\sqrt{2}-\sqrt{5}+\sqrt{7})(\sqrt{2}-\sqrt{5}+\sqrt{7})}{2-2\sqrt{10}+5-7}$

$= \frac{(\sqrt{2}+\sqrt{5})^2+2\sqrt{7}(\sqrt{2}+\sqrt{5})+7}{2\sqrt{10}} + \frac{(\sqrt{2}-\sqrt{5})^2+2\sqrt{7}(\sqrt{2}-\sqrt{5})+7}{-2\sqrt{10}}$

$= \frac{2+2\sqrt{10}+5+2\sqrt{14}+2\sqrt{35}+7}{2\sqrt{10}} + \frac{2-2\sqrt{10}+5+2\sqrt{14}-2\sqrt{35}+7}{-2\sqrt{10}}$

$= \frac{14+2\sqrt{10}+2\sqrt{14}+2\sqrt{35}}{2\sqrt{10}} + \frac{14-2\sqrt{10}+2\sqrt{14}-2\sqrt{35}}{-2\sqrt{10}}$

$= \frac{14+2\sqrt{10}+2\sqrt{14}+2\sqrt{35} -14 + 2\sqrt{10}-2\sqrt{14}+2\sqrt{35} }{2\sqrt{10}}$

$= \frac{4\sqrt{10}+4\sqrt{35}}{2\sqrt{10}} = \frac{2\sqrt{10}+2\sqrt{35}}{\sqrt{10}} = 2+\frac{2\sqrt{35}}{\sqrt{10}} = 2+2\sqrt{\frac{7}{2}} = 2+\sqrt{14}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\sqrt{2}+2+\sqrt{6}}{4}$

(2) $\frac{\sqrt{15}+\sqrt{6}}{3}$

(3) $2+\sqrt{14}$