$x^2 + 2xy + 2y^2 \ge 0$

## 問題

与えられた不等式を証明し、等号が成立する条件を求めます。

**(2)** $x^2 + 2xy \ge -2y^2$

**(3)** $2(x^2 + 3y^2) \ge 5xy$

## 解き方の手順

**(2)**

1. 不等式の右辺を左辺に移項します。

$x^2 + 2xy + 2y^2 \ge 0$

2. 左辺を平方完成します。

$(x+y)^2 + y^2 \ge 0$

3. $(x+y)^2$ と $y^2$ は実数の二乗であるため、常に0以上です。したがって、$(x+y)^2 + y^2$ も0以上となります。

4. 等号が成り立つ条件は、$(x+y)^2 = 0$ かつ $y^2 = 0$ のときです。これは $x+y = 0$ かつ $y=0$ を意味します。したがって、$x=0$ かつ $y=0$ のとき等号が成り立ちます。

**(3)**

1. 不等式の右辺を左辺に移項します。

$2x^2 + 6y^2 - 5xy \ge 0$

2. 左辺を因数分解します。

$2x^2 - 5xy + 6y^2 \ge 0$

$2x^2 - 4xy - xy + 2y^2 + 4y^2 \ge 0$

$2x(x - 2y) -y(x-2y) + 4y^2 \ge 0$

$(2x - y)(x - 2y) + 4y^2 \ge 0$

3. もう少し違う方法で考えます。不等式の左辺を平方完成します。

$2x^2 - 5xy + 6y^2 = 2(x^2 - \frac{5}{2}xy) + 6y^2 = 2(x^2 - \frac{5}{2}xy + (\frac{5}{4}y)^2) - 2(\frac{5}{4}y)^2 + 6y^2 = 2(x - \frac{5}{4}y)^2 - \frac{25}{8}y^2 + \frac{48}{8}y^2 = 2(x - \frac{5}{4}y)^2 + \frac{23}{8}y^2$

$2(x - \frac{5}{4}y)^2 + \frac{23}{8}y^2 \ge 0$

4. $2(x - \frac{5}{4}y)^2$ と $\frac{23}{8}y^2$ は実数の二乗であるため、常に0以上です。したがって、$2(x - \frac{5}{4}y)^2 + \frac{23}{8}y^2$ も0以上となります。

5. 等号が成り立つ条件は、$x - \frac{5}{4}y = 0$ かつ $y = 0$ のときです。これは $x = \frac{5}{4}y$ かつ $y=0$ を意味します。したがって、$x=0$ かつ $y=0$ のとき等号が成り立ちます。

## 最終的な答え

**(2)** $x^2 + 2xy \ge -2y^2$ は成り立つ。等号が成り立つのは $x=0$ かつ $y=0$ のとき。

**(3)** $2(x^2 + 3y^2) \ge 5xy$ は成り立つ。等号が成り立つのは $x=0$ かつ $y=0$ のとき。