与えられた数 $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{7} + \sqrt{10}}$ の分母を有理化せよ。

1. 問題の内容

与えられた数 $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{7} + \sqrt{10}}$ の分母を有理化せよ。

2. 解き方の手順

分母を有理化するために、まず $\sqrt{3} + \sqrt{7}$ を一つの項として考え、$(\sqrt{3} + \sqrt{7}) + \sqrt{10}$ に共役な $(\sqrt{3} + \sqrt{7}) - \sqrt{10}$ を分母と分子に掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{7} + \sqrt{10}} = \frac{1}{(\sqrt{3} + \sqrt{7}) + \sqrt{10}}$

$= \frac{(\sqrt{3} + \sqrt{7}) - \sqrt{10}}{((\sqrt{3} + \sqrt{7}) + \sqrt{10})((\sqrt{3} + \sqrt{7}) - \sqrt{10})}$

$= \frac{\sqrt{3} + \sqrt{7} - \sqrt{10}}{(\sqrt{3} + \sqrt{7})^2 - (\sqrt{10})^2}$

$= \frac{\sqrt{3} + \sqrt{7} - \sqrt{10}}{(3 + 2\sqrt{21} + 7) - 10}$

$= \frac{\sqrt{3} + \sqrt{7} - \sqrt{10}}{10 + 2\sqrt{21} - 10}$

$= \frac{\sqrt{3} + \sqrt{7} - \sqrt{10}}{2\sqrt{21}}$

次に、分母の $2\sqrt{21}$ を有理化するために、$\sqrt{21}$ を分母と分子に掛けます。

$\frac{\sqrt{3} + \sqrt{7} - \sqrt{10}}{2\sqrt{21}} = \frac{(\sqrt{3} + \sqrt{7} - \sqrt{10})\sqrt{21}}{2\sqrt{21}\sqrt{21}}$

$= \frac{\sqrt{3}\sqrt{21} + \sqrt{7}\sqrt{21} - \sqrt{10}\sqrt{21}}{2(21)}$

$= \frac{\sqrt{63} + \sqrt{147} - \sqrt{210}}{42}$

$= \frac{\sqrt{9 \cdot 7} + \sqrt{49 \cdot 3} - \sqrt{210}}{42}$

$= \frac{3\sqrt{7} + 7\sqrt{3} - \sqrt{210}}{42}$

3. 最終的な答え

$\frac{7\sqrt{3}+3\sqrt{7}-\sqrt{210}}{42}$