与えられた3つのベクトル $\vec{a} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\vec{b} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$, $\vec{c} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ が一次独立であるか、一次従属であるかを判定し、理由を説明する。

1. 問題の内容

与えられた3つのベクトル $\vec{a} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\vec{b} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$, $\vec{c} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ が一次独立であるか、一次従属であるかを判定し、理由を説明する。

2. 解き方の手順

ベクトル $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ が一次独立であるとは、

$k_1 \vec{a} + k_2 \vec{b} + k_3 \vec{c} = \vec{0}$ を満たすスカラー $k_1, k_2, k_3$ が $k_1 = k_2 = k_3 = 0$ の場合のみであることを意味します。

もし、少なくとも1つのスカラーが0でない場合、ベクトルは一次従属です。

そこで、次のような連立一次方程式を考えます。

$k_1 \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} + k_2 \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} + k_3 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

これは次の連立方程式に書き換えられます。

\begin{align}

k_2 + k_3 &= 0 \\

k_1 + 2k_2 &= 0 \\

k_1 + 3k_2 + k_3 &= 0

\end{align}

最初の式から、$k_3 = -k_2$ です。

2番目の式から、$k_1 = -2k_2$ です。

これらを3番目の式に代入すると、

$-2k_2 + 3k_2 - k_2 = 0$

となり、$0 = 0$ となります。

つまり、この連立方程式は不定解を持ち、 $k_2$ を任意の値とすることができます。

例えば、$k_2 = 1$ とすると、$k_1 = -2$ かつ $k_3 = -1$ となります。

したがって、$-2\vec{a} + \vec{b} - \vec{c} = \vec{0}$ となり、与えられたベクトルは一次従属です。

3. 最終的な答え

与えられた3つのベクトルは一次従属である。

理由：$-2\vec{a} + \vec{b} - \vec{c} = \vec{0}$ を満たすスカラーが存在するから。