不等式 $a^2 + 9b^2 \ge 4ab$ を証明し、等号が成り立つ条件を求める問題です。

1. 問題の内容

不等式 $a^2 + 9b^2 \ge 4ab$ を証明し、等号が成り立つ条件を求める問題です。

2. 解き方の手順

不等式の証明は、一般的に差を取ってそれが0以上であることを示すことで行います。

$a^2 + 9b^2 - 4ab$ を変形し、平方完成を目指します。

まず、$a$ について平方完成を行うことを考えます。

$a^2 - 4ab + 9b^2$

$= (a - 2b)^2 - (2b)^2 + 9b^2$

$= (a - 2b)^2 - 4b^2 + 9b^2$

$= (a - 2b)^2 + 5b^2$

したがって、

$a^2 + 9b^2 - 4ab = (a - 2b)^2 + 5b^2$

$(a - 2b)^2 \ge 0$ であり、$5b^2 \ge 0$ であるから、$a^2 + 9b^2 - 4ab \ge 0$ が成り立つことが示されます。

したがって、$a^2 + 9b^2 \ge 4ab$ が証明されました。

次に、等号が成り立つ条件を調べます。

等号が成り立つのは、$(a - 2b)^2 = 0$ かつ $5b^2 = 0$ のときです。

$b = 0$ かつ $a - 2b = 0$ より、$a = 0$ が得られます。

したがって、$a = 0$ かつ $b = 0$ のときに等号が成り立ちます。

3. 最終的な答え

不等式 $a^2 + 9b^2 \ge 4ab$ は証明された。

等号が成り立つのは、$a = 0$ かつ $b = 0$ のときである。