$a$ を実数とする。$x$ についての3次方程式 $\frac{1}{3}x^3 - a^2x + a = 0$ が異なる3つの実数解をもつとき、$a$ の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ を実数とする。$x$ についての3次方程式 $\frac{1}{3}x^3 - a^2x + a = 0$ が異なる3つの実数解をもつとき、$a$ の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた方程式を $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - a^2x + a$ とおく。

$f(x) = 0$ が異なる3つの実数解をもつためには、$f'(x) = 0$ が異なる2つの実数解を持ち、それらの解における $f(x)$ の値が異符号である必要がある。

まず、$f'(x)$ を計算する。

$f'(x) = x^2 - a^2$

$f'(x) = 0$ を解くと、

$x^2 - a^2 = 0$

$x = \pm a$

$a=0$ の場合、$x=0$ となり、$f(x) = \frac{1}{3}x^3$ は単調増加なので、$x=0$ のみが解となり、異なる３つの実数解を持たない。よって、$a \neq 0$ である。

$x = a$ と $x = -a$ で $f(x)$ の符号が異なる必要がある。

$f(a) = \frac{1}{3}a^3 - a^3 + a = -\frac{2}{3}a^3 + a$

$f(-a) = -\frac{1}{3}a^3 + a^3 + a = \frac{2}{3}a^3 + a$

$f(a)f(-a) < 0$ が必要。

$(-\frac{2}{3}a^3 + a)(\frac{2}{3}a^3 + a) < 0$

$a(1-\frac{2}{3}a^2) a(1+\frac{2}{3}a^2) < 0$

$a^2 (1-\frac{4}{9}a^4) < 0$

$a \neq 0$ より、$1-\frac{4}{9}a^4 < 0$

$\frac{4}{9}a^4 > 1$

$a^4 > \frac{9}{4}$

$a^2 > \frac{3}{2}$

$a > \sqrt{\frac{3}{2}}$ または $a < -\sqrt{\frac{3}{2}}$

$a > \frac{\sqrt{6}}{2}$ または $a < -\frac{\sqrt{6}}{2}$

3. 最終的な答え

$a < -\frac{\sqrt{6}}{2}$, $\frac{\sqrt{6}}{2} < a$