以下の5つの問題に答えます。 (2) 等比数列の第3項が3、第6項が-81のとき、初項と公比を求めます。 (3) $a, b$ は正の数で、数列 $6, a, b$ は等差数列、数列 $a, b, 16$ は等比数列であるとき、$a$ と $b$ の値を求めます。 (4) 等比数列 $-1, -3, -9, \dots$ の初項から第6項までの和を求めます。 (5) 初項が2、公比が-3の等比数列の初項から第n項までの和が122であるとき、$n$ の値を求めます。

1. 問題の内容

以下の5つの問題に答えます。

(2) 等比数列の第3項が3、第6項が-81のとき、初項と公比を求めます。

(3) $a, b$ は正の数で、数列 $6, a, b$ は等差数列、数列 $a, b, 16$ は等比数列であるとき、$a$ と $b$ の値を求めます。

(4) 等比数列 $-1, -3, -9, \dots$ の初項から第6項までの和を求めます。

(5) 初項が2、公比が-3の等比数列の初項から第n項までの和が122であるとき、$n$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(2)

等比数列の一般項を $ar^{n-1}$ とします。

第3項が3なので、$ar^2 = 3$。

第6項が-81なので、$ar^5 = -81$。

$\frac{ar^5}{ar^2} = \frac{-81}{3}$

$r^3 = -27$

$r = -3$

$a(-3)^2 = 3$

$9a = 3$

$a = \frac{1}{3}$

よって、初項は $\frac{1}{3}$、公比は -3。

(3)

数列 $6, a, b$ は等差数列なので、

$2a = 6 + b$

$b = 2a - 6$

数列 $a, b, 16$ は等比数列なので、

$b^2 = 16a$

$b = 2a - 6$ を $b^2 = 16a$ に代入すると、

$(2a - 6)^2 = 16a$

$4a^2 - 24a + 36 = 16a$

$4a^2 - 40a + 36 = 0$

$a^2 - 10a + 9 = 0$

$(a-1)(a-9) = 0$

$a = 1, 9$

$a = 1$ のとき、$b = 2(1) - 6 = -4$。$b$ は正の数なので不適。

$a = 9$ のとき、$b = 2(9) - 6 = 12$。

よって、$a = 9$, $b = 12$。

(4)

等比数列 $-1, -3, -9, \dots$ の初項は $a = -1$、公比は $r = 3$。

初項から第6項までの和 $S_6$ は、

$S_6 = \frac{a(1-r^6)}{1-r} = \frac{-1(1-3^6)}{1-3} = \frac{-1(1-729)}{-2} = \frac{728}{-2} = -364$

よって、初項から第6項までの和は -364。

(5)

初項が2、公比が-3の等比数列の初項から第n項までの和が122なので、

$S_n = \frac{2(1-(-3)^n)}{1-(-3)} = \frac{2(1-(-3)^n)}{4} = \frac{1-(-3)^n}{2} = 122$

$1-(-3)^n = 244$

$(-3)^n = 1 - 244 = -243$

$(-3)^n = (-3)^5$

$n = 5$

よって、$n = 5$。

3. 最終的な答え

(2) 初項: $\frac{1}{3}$, 公比: $-3$

(3) $a = 9$, $b = 12$

(4) $-364$

(5) $5$