行列 $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 3 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & -5 & 1 \end{bmatrix}$ に、指定された基本変形を順に施し、最終的な行列を求める問題です。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 3 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & -5 & 1 \end{bmatrix}$ に、指定された基本変形を順に施し、最終的な行列を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 1行と2行の入れ替え：

$A_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 1 \\ 1 & -2 & -5 & 1 \end{bmatrix}$

(2) 1行 $\times$ (-1) を3行に加える：

$A_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 1 \\ 1-1 & -2-0 & -5-1 & 1-1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 1 \\ 0 & -2 & -6 & 0 \end{bmatrix}$

(3) 2行 $\times$ 2 を3行に加える：

$A_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 1 \\ 0 & -2+2 & -6+6 & 0+2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$

(4) 3行を $\frac{1}{2}$倍：

$A_4 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

(5) 3行 $\times$ (-1) を2行に加える：

$A_5 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 1-1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

(6) 3行 $\times$ (-1) を1行に加える：

$A_6 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 1-1 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$