3つのベクトル $a = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$, $b = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$, $c = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ が一次独立であるか、一次従属であるかを理由とともに示します。

1. 問題の内容

3つのベクトル $a = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$, $b = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$, $c = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ が一次独立であるか、一次従属であるかを理由とともに示します。

2. 解き方の手順

ベクトル $a$, $b$, $c$ が一次独立であるか一次従属であるかを調べるには、線形結合 $k_1a + k_2b + k_3c = 0$ を考えます。ここで、$k_1$, $k_2$, $k_3$ はスカラーです。

$k_1a + k_2b + k_3c = 0$ が $k_1 = k_2 = k_3 = 0$ の場合にのみ成り立つならば、ベクトル $a$, $b$, $c$ は一次独立です。

それ以外の場合、つまり $k_1, k_2, k_3$ の少なくとも一つが0でない場合に $k_1a + k_2b + k_3c = 0$ が成り立つならば、ベクトル $a$, $b$, $c$ は一次従属です。

$k_1 \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} + k_2 \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} + k_3 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

これは次の連立一次方程式に対応します。

$0k_1 + 1k_2 + 1k_3 = 0$

$1k_1 + 2k_2 + 0k_3 = 0$

$1k_1 + 3k_2 + 1k_3 = 0$

これを解きます。

第1式より、$k_2 = -k_3$ です。これを第2式に代入すると、$k_1 + 2(-k_3) = 0$ より、$k_1 = 2k_3$ となります。

これらを第3式に代入すると、$2k_3 + 3(-k_3) + k_3 = 0$ となり、$0 = 0$ となります。

したがって、$k_1 = 2k_3$ かつ $k_2 = -k_3$ を満たす任意の $k_3$ に対して、連立一次方程式は解を持ちます。

たとえば、$k_3 = 1$ とすると、$k_1 = 2$ かつ $k_2 = -1$ となり、$2a - b + c = 0$ が成り立ちます。

したがって、ベクトル $a$, $b$, $c$ は一次従属です。

3. 最終的な答え

一次従属

理由：$2a - b + c = 0$