問題は、絶対値を含む不等式 $|x-3|>2$ を解くことです。

1. 問題の内容

問題は、絶対値を含む不等式 $|x-3|>2$ を解くことです。

2. 解き方の手順

絶対値の定義より、$|x-3|$ は、$x-3$ が正または0の場合には $x-3$ に等しく、$x-3$ が負の場合には$-(x-3)$ に等しくなります。したがって、この不等式は次の2つの場合に分けて考える必要があります。

場合1: $x-3 \geq 0$ のとき、すなわち $x \geq 3$ のとき。

この場合、$|x-3| = x-3$ となるので、不等式は $x-3 > 2$ となります。これを解くと、

$x > 2 + 3$

$x > 5$

$x \geq 3$ かつ $x > 5$ である必要があるため、$x > 5$ がこの場合の解となります。

場合2: $x-3 < 0$ のとき、すなわち $x < 3$ のとき。

この場合、$|x-3| = -(x-3) = -x + 3$ となるので、不等式は $-x+3 > 2$ となります。これを解くと、

$-x > 2 - 3$

$-x > -1$

両辺に $-1$ を掛けると不等号の向きが変わるので、

$x < 1$

$x < 3$ かつ $x < 1$ である必要があるため、$x < 1$ がこの場合の解となります。

したがって、不等式の解は $x > 5$ または $x < 1$ となります。

3. 最終的な答え

$x < 1$ または $x > 5$