ベクトル $\mathbf{a} = \begin{bmatrix} 3 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\mathbf{b} = \begin{bmatrix} 0 \\ 4 \\ -1 \end{bmatrix}$, $\mathbf{c} = \begin{bmatrix} 1 \\ 6 \\ 4 \end{bmatrix}$ が一次独立であるか、一次従属であるかを判定し、その理由を示す。

1. 問題の内容

ベクトル $\mathbf{a} = \begin{bmatrix} 3 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\mathbf{b} = \begin{bmatrix} 0 \\ 4 \\ -1 \end{bmatrix}$, $\mathbf{c} = \begin{bmatrix} 1 \\ 6 \\ 4 \end{bmatrix}$ が一次独立であるか、一次従属であるかを判定し、その理由を示す。

2. 解き方の手順

ベクトル $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$, $\mathbf{c}$ が一次独立であるかどうかを判定するには、線形結合 $x\mathbf{a} + y\mathbf{b} + z\mathbf{c} = \mathbf{0}$ が自明な解 $(x, y, z) = (0, 0, 0)$ のみを持つかどうかを調べればよい。もし自明でない解が存在すれば、$\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$, $\mathbf{c}$ は一次従属である。

したがって、次の方程式系を解く。

$x \begin{bmatrix} 3 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix} + y \begin{bmatrix} 0 \\ 4 \\ -1 \end{bmatrix} + z \begin{bmatrix} 1 \\ 6 \\ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

これは次の連立一次方程式と同値である。

$3x + z = 0$

$-2x + 4y + 6z = 0$

$x - y + 4z = 0$

第一式より、$z = -3x$。

第三式に代入して、$x - y - 12x = 0$, $-11x - y = 0$, $y = -11x$。

第二式に代入して、$-2x + 4(-11x) + 6(-3x) = 0$, $-2x - 44x - 18x = 0$, $-64x = 0$, よって $x = 0$。

$x = 0$ を $y = -11x$ および $z = -3x$ に代入すると、$y = 0$ および $z = 0$ を得る。

したがって、この連立一次方程式の解は $(x, y, z) = (0, 0, 0)$ のみである。これは自明な解である。

3. 最終的な答え

$\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$, $\mathbf{c}$ は一次独立である。

理由： $x\mathbf{a} + y\mathbf{b} + z\mathbf{c} = \mathbf{0}$ となるのは $x = y = z = 0$ の場合に限るため。