与えられた式 $(a+b+c)(ab+bc+ca) - abc$ を展開し、整理せよ。

はい、承知いたしました。画像にある問題のうち、(10) の問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた式 $(a+b+c)(ab+bc+ca) - abc$ を展開し、整理せよ。

2. 解き方の手順

式を展開し、同類項をまとめる。

まず、$(a+b+c)(ab+bc+ca)$ を展開する。

$(a+b+c)(ab+bc+ca) = a(ab+bc+ca) + b(ab+bc+ca) + c(ab+bc+ca)$

$= a^2b + abc + ca^2 + ab^2 + b^2c + abc + abc + bc^2 + c^2a$

$= a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b + 3abc$

したがって、

$(a+b+c)(ab+bc+ca) - abc = a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b + 3abc - abc$

$= a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b + 2abc$

$= a^2(b+c) + b^2(a+c) + c^2(a+b) + 2abc$

3. 最終的な答え

$a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b + 2abc$

または

$a^2(b+c) + b^2(a+c) + c^2(a+b) + 2abc$