等式 $2x^2 - 7x - 1 = a(x-1)^2 + b(x-1) + c$ が $x$ についての恒等式であるとき、定数 $a, b, c$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

等式 $2x^2 - 7x - 1 = a(x-1)^2 + b(x-1) + c$ が $x$ についての恒等式であるとき、定数 $a, b, c$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、右辺を展開します。

$a(x-1)^2 + b(x-1) + c = a(x^2 - 2x + 1) + b(x-1) + c = ax^2 - 2ax + a + bx - b + c$

次に、右辺を整理して $x$ の降べきの順に並べます。

$ax^2 - 2ax + a + bx - b + c = ax^2 + (-2a+b)x + (a-b+c)$

与えられた等式が恒等式なので、両辺の同じ次数の項の係数が等しくなります。したがって、次の連立方程式が得られます。

$x^2$ の係数: $a = 2$

$x$ の係数: $-2a + b = -7$

定数項: $a - b + c = -1$

$a = 2$ を $-2a + b = -7$ に代入すると、

$-2(2) + b = -7$

$-4 + b = -7$

$b = -7 + 4 = -3$

$a = 2$ と $b = -3$ を $a - b + c = -1$ に代入すると、

$2 - (-3) + c = -1$

$2 + 3 + c = -1$

$5 + c = -1$

$c = -1 - 5 = -6$

3. 最終的な答え

$a = 2$

$b = -3$

$c = -6$