与えられた式 $3x^2 + 2xy - y^2 + 7x + 3y + 4$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $3x^2 + 2xy - y^2 + 7x + 3y + 4$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

与えられた式を因数分解するために、まず $x$ について整理します。

$3x^2 + (2y + 7)x - y^2 + 3y + 4$

次に、定数項 $-y^2 + 3y + 4$ を因数分解します。

$-y^2 + 3y + 4 = -(y^2 - 3y - 4) = -(y - 4)(y + 1) = (4 - y)(y + 1)$

よって、与式は

$3x^2 + (2y + 7)x + (4 - y)(y + 1)$

と表せます。

ここで、因数分解の結果が $(ax + by + c)(dx + ey + f)$ の形になると仮定して、係数を比較します。$3x^2$の項から、$a$と$d$の積が3になることがわかります。$(4-y)(y+1)$の項から、$c$と$f$の積が$(4-y)(y+1)$になることがわかります。

$3x^2 + (2y+7)x + (4-y)(y+1) = (3x + Ay + B)(x + Cy + D)$とおくと、

$3x^2 + (3Cy+3D + Ay+B)x + (ACy^2+(AD+BC)y + BD) = 3x^2 + (2y + 7)x - y^2 + 3y + 4$

$AC = -1$, $AD + BC = 3$, $BD = 4$, $3C+A = 2$, $3D+B = 7$

これらを満たすように、$A, B, C, D$ を見つけます。

$A = -y + 4, B = 4, C = y+1, D=1$の場合、$AC = (-(y-4))(y+1) = -y^2 + 3y + 4$。

$3x^2 + (2y+7)x - y^2 + 3y + 4 = (3x - y + 4)(x + y + 1)$

展開すると

$3x^2 + 3xy + 3x - xy - y^2 - y + 4x + 4y + 4 = 3x^2 + 2xy - y^2 + 7x + 3y + 4$となり、与式と一致します。

3. 最終的な答え

$(3x - y + 4)(x + y + 1)$