不等式 $2x + 3 \geq \frac{4}{3}(x+1) + a$ の解が $x \geq \frac{\text{ア}a - \text{イ}}{\text{ウ}}$ となる。 また、この不等式の解が $x = 3$ を含み、$x = -1$ を含まないとき、$\text{エ} < a \leq \frac{\text{オカ}}{\text{キ}}$ となり、これを満たす整数 $a$ は $\text{ク}$ 個ある。空欄に当てはまる数字を求める。

1. 問題の内容

不等式 $2x + 3 \geq \frac{4}{3}(x+1) + a$ の解が $x \geq \frac{\text{ア}a - \text{イ}}{\text{ウ}}$ となる。

また、この不等式の解が $x = 3$ を含み、$x = -1$ を含まないとき、$\text{エ} < a \leq \frac{\text{オカ}}{\text{キ}}$ となり、これを満たす整数 $a$ は $\text{ク}$ 個ある。空欄に当てはまる数字を求める。

2. 解き方の手順

まず不等式 $2x + 3 \geq \frac{4}{3}(x+1) + a$ を解く。

両辺に3をかけて $6x + 9 \geq 4(x+1) + 3a$

$6x + 9 \geq 4x + 4 + 3a$

$2x \geq 3a - 5$

$x \geq \frac{3a - 5}{2}$

したがって、$\frac{3a - 5}{2} = \frac{\text{ア}a - \text{イ}}{\text{ウ}}$ より、ア = 3、イ = 5、ウ = 2となる。

次に、不等式の解が $x = 3$ を含むので、$3 \geq \frac{3a - 5}{2}$ が成り立つ。

$6 \geq 3a - 5$

$11 \geq 3a$

$a \leq \frac{11}{3}$

不等式の解が $x = -1$ を含まないので、$-1 < \frac{3a - 5}{2}$ が成り立つ。

$-2 < 3a - 5$

$3 < 3a$

$1 < a$

したがって、$1 < a \leq \frac{11}{3}$ となる。

$\frac{11}{3} = 3\frac{2}{3}$ であるから、$\text{エ} = 1$、$\frac{\text{オカ}}{\text{キ}} = \frac{11}{3}$

オカ = 11, キ = 3 となる。

$1 < a \leq \frac{11}{3}$ を満たす整数 $a$ は、2と3の2個である。

したがって、ク = 2 となる。

3. 最終的な答え

ア = 3

イ = 5

ウ = 2

エ = 1

オカ = 11

キ = 3

ク = 2