与えられた3つの数学の問題を解きます。 (1) $3\sqrt{(x-3)^2} = 2x+1$ (2) $\sqrt{(\sqrt{2}-3)^2} + \sqrt{(\pi-5)^2} = ?$ (3) $\frac{4}{\sqrt{3}-2} - \frac{3}{1+\sqrt{3}} = ?$

1. 問題の内容

与えられた3つの数学の問題を解きます。

(1) $3\sqrt{(x-3)^2} = 2x+1$

(2) $\sqrt{(\sqrt{2}-3)^2} + \sqrt{(\pi-5)^2} = ?$

(3) $\frac{4}{\sqrt{3}-2} - \frac{3}{1+\sqrt{3}} = ?$

2. 解き方の手順

(1)

まず、$\sqrt{(x-3)^2}$を $|x-3|$ と書き換えます。

$3|x-3| = 2x+1$

場合分けを行います。

a) $x \ge 3$ のとき、 $|x-3| = x-3$ なので、

$3(x-3) = 2x+1$

$3x - 9 = 2x+1$

$x = 10$

これは $x \ge 3$ を満たすので解となります。

b) $x < 3$ のとき、 $|x-3| = -(x-3) = 3-x$ なので、

$3(3-x) = 2x+1$

$9 - 3x = 2x+1$

$8 = 5x$

$x = \frac{8}{5} = 1.6$

これは $x < 3$ を満たすので解となります。

(2)

$\sqrt{(\sqrt{2}-3)^2} = |\sqrt{2}-3|$

$\sqrt{(\pi-5)^2} = |\pi-5|$

$\sqrt{2} \approx 1.414$ なので、 $\sqrt{2} - 3 < 0$。よって $|\sqrt{2}-3| = 3-\sqrt{2}$

$\pi \approx 3.14$ なので、 $\pi - 5 < 0$。よって $|\pi-5| = 5-\pi$

$|\sqrt{2}-3| + |\pi-5| = (3-\sqrt{2}) + (5-\pi) = 8-\sqrt{2}-\pi$

(3)

$\frac{4}{\sqrt{3}-2} - \frac{3}{1+\sqrt{3}}$

それぞれの分数を有理化します。

$\frac{4}{\sqrt{3}-2} = \frac{4(\sqrt{3}+2)}{(\sqrt{3}-2)(\sqrt{3}+2)} = \frac{4(\sqrt{3}+2)}{3-4} = \frac{4(\sqrt{3}+2)}{-1} = -4(\sqrt{3}+2) = -4\sqrt{3}-8$

$\frac{3}{1+\sqrt{3}} = \frac{3(1-\sqrt{3})}{(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})} = \frac{3(1-\sqrt{3})}{1-3} = \frac{3(1-\sqrt{3})}{-2} = \frac{-3+3\sqrt{3}}{2}$

$\frac{4}{\sqrt{3}-2} - \frac{3}{1+\sqrt{3}} = -4\sqrt{3}-8 - \frac{-3+3\sqrt{3}}{2} = \frac{-8\sqrt{3}-16+3-3\sqrt{3}}{2} = \frac{-11\sqrt{3}-13}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $x = 10, \frac{8}{5}$

(2) $8-\sqrt{2}-\pi$

(3) $\frac{-11\sqrt{3}-13}{2}$