$x = \frac{1}{\sqrt{5}-2}$、 $y = \frac{1}{\sqrt{5}+2}$のとき、次の式の値を求めよ。 (1) $x+y$ , $xy$ (2) $x^2+y^2$

1. 問題の内容

$x = \frac{1}{\sqrt{5}-2}$、 $y = \frac{1}{\sqrt{5}+2}$のとき、次の式の値を求めよ。

(1) $x+y$ , $xy$

(2) $x^2+y^2$

2. 解き方の手順

(1) まず、$x$ と $y$ をそれぞれ有理化する。

$x = \frac{1}{\sqrt{5}-2} = \frac{1}{\sqrt{5}-2} \cdot \frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}+2} = \frac{\sqrt{5}+2}{5-4} = \sqrt{5}+2$

$y = \frac{1}{\sqrt{5}+2} = \frac{1}{\sqrt{5}+2} \cdot \frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}-2} = \frac{\sqrt{5}-2}{5-4} = \sqrt{5}-2$

次に、$x+y$ と $xy$ を計算する。

$x+y = (\sqrt{5}+2) + (\sqrt{5}-2) = 2\sqrt{5}$

$xy = (\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2) = 5 - 4 = 1$

(2) $x^2+y^2$ の値を求める。

$x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy$

$x+y = 2\sqrt{5}$ なので、$(x+y)^2 = (2\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20$

$xy = 1$ なので、$2xy = 2 \cdot 1 = 2$

$x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy = 20 - 2 = 18$

3. 最終的な答え

(1) $x+y = 2\sqrt{5}$ , $xy = 1$

(2) $x^2+y^2 = 18$