$A = x^2 + y$, $B = 2 + y - y^2$, $C = 4x + 1$ とする。 (1) $A + B + C$ を因数分解せよ。 (2) $ABC$ を展開した多項式は、$x$ に着目すると何次式か。また、$x$ の項の係数と定数項は何か。

1. 問題の内容

$A = x^2 + y$, $B = 2 + y - y^2$, $C = 4x + 1$ とする。

(1) $A + B + C$ を因数分解せよ。

(2) $ABC$ を展開した多項式は、$x$ に着目すると何次式か。また、$x$ の項の係数と定数項は何か。

2. 解き方の手順

(1) $A+B+C$ を計算して因数分解する。

$A + B + C = (x^2 + y) + (2 + y - y^2) + (4x + 1)$

$= x^2 + 4x - y^2 + 2y + 3$

$= x^2 + 4x + 4 - y^2 + 2y - 1$

$= (x+2)^2 - (y-1)^2$

$= (x+2+y-1)(x+2-y+1)$

$= (x+y+1)(x-y+3)$

(2) $ABC = (x^2 + y)(2 + y - y^2)(4x + 1)$ を展開し、$x$ に着目して次数、$x$ の項の係数、定数項を求める。

$ABC = (x^2 + y)(2 + y - y^2)(4x + 1)$

$= (x^2+y)[(2+y-y^2)(4x+1)]$

$= (x^2+y)[8x+2+4xy+y-4xy^2-y^2]$

$= (x^2+y)[8x+2+y(4x+1)-y^2(4x+1)]$

$= (x^2+y)[8x+2+4xy+y-4xy^2-y^2]$

$= x^2(8x+2+4xy+y-4xy^2-y^2) + y(8x+2+4xy+y-4xy^2-y^2)$

$= 8x^3 + 2x^2 + 4x^3y + x^2y - 4x^3y^2 - x^2y^2 + 8xy + 2y + 4xy^2 + y^2 - 4xy^3 - y^3$

$ABC$を$x$に着目すると、最高次数は3なので3次式である。

$x$の項は$8xy$より、$8y$である。

定数項は$2y + y^2 - y^3$である。

3. 最終的な答え

(1) $(x+y+1)(x-y+3)$

(2) $x$に着目すると3次式、$x$ の項の係数は $8y$、定数項は $2y + y^2 - y^3$