問題は、与えられた2つの式を因数分解することです。ここでは、(8) の式 $6x^2 + 7xy + 2y^2 + x - 2$ を因数分解します。

1. 問題の内容

問題は、与えられた2つの式を因数分解することです。ここでは、(8) の式 $6x^2 + 7xy + 2y^2 + x - 2$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式をxについて整理します。

$6x^2 + (7y + 1)x + (2y^2 - 2)$

次に、$2y^2 - 2$ を因数分解します。

$2y^2 - 2 = 2(y^2 - 1) = 2(y - 1)(y + 1)$

与えられた式を$(ax + by + c)(dx + ey + f)$の形に因数分解できると仮定します。ここで、$ad = 6$, $be = 2$, $cf = -2$です。

式全体を因数分解できるように、試行錯誤によって係数を決定します。

$6x^2 + 7xy + 2y^2$の部分を因数分解すると、$(2x + y)(3x + 2y)$となります。

したがって、$6x^2 + 7xy + 2y^2 + x - 2 = (2x + y + a)(3x + 2y + b)$の形になると考えられます。展開すると、

$6x^2 + 4xy + 2bx + 3xy + 2y^2 + by + 3ax + 2ay + ab = 6x^2 + 7xy + 2y^2 + (3a + 2b)x + (2a + b)y + ab$

$6x^2 + 7xy + 2y^2 + x - 2$ と比較すると、

$3a + 2b = 1$

$2a + b = 0$

$ab = -2$

$2a + b = 0$より、$b = -2a$ です。

$3a + 2b = 1$ に代入すると、$3a - 4a = 1$、$a = -1$です。

$b = -2a$ なので、$b = 2$ です。

$ab = -1 * 2 = -2$なので、条件を満たします。

したがって、$6x^2 + 7xy + 2y^2 + x - 2 = (2x + y - 1)(3x + 2y + 2)$

3. 最終的な答え

$(2x + y - 1)(3x + 2y + 2)$