連立不等式 $\begin{cases} 7x - 5 > 13 - 2x \\ x + a \ge 3x + 5 \end{cases}$ を満たす整数 $x$ がちょうど5個存在するとき、定数 $a$ の値の範囲を求める。

## 問題9

1. 問題の内容

連立不等式

$\begin{cases} 7x - 5 > 13 - 2x \\ x + a \ge 3x + 5 \end{cases}$

を満たす整数 $x$ がちょうど5個存在するとき、定数 $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの不等式を解きます。

1つ目の不等式：

$7x - 5 > 13 - 2x$

$9x > 18$

$x > 2$

2つ目の不等式：

$x + a \ge 3x + 5$

$-2x \ge 5 - a$

$2x \le a - 5$

$x \le \frac{a - 5}{2}$

したがって、連立不等式は

$2 < x \le \frac{a - 5}{2}$

となります。この不等式を満たす整数 $x$ がちょうど5個存在するので、$x = 3, 4, 5, 6, 7$ である必要があります。したがって、

$7 \le \frac{a - 5}{2} < 8$

が成り立ちます。この不等式を解きます。

$14 \le a - 5 < 16$

$19 \le a < 21$

3. 最終的な答え

$19 \le a < 21$

## 問題10

1. 問題の内容

$a$ を正の定数とするとき、不等式 $|x - 2| < a$ を満たす整数 $x$ がちょうど5個存在するような $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、絶対値の不等式 $|x - 2| < a$ を解きます。これは、$-a < x - 2 < a$ と同値です。

各辺に2を加えると、$2 - a < x < 2 + a$ となります。

この不等式を満たす整数 $x$ がちょうど5個存在するので、これらの整数を $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ とすると、それらは連続した整数である必要があります。

整数 $x$ が $2 - a < x < 2 + a$ を満たすということは、$x$ は 2 の近くに存在することを示唆しています。

$x$ が整数なので、もし $x=2$ が含まれるなら、整数 $x$ は $2-2 = 0,1,2,3,4$　または　$-2,-1,0,1,2$などのように分布することが考えられます。

仮に$x=2$が含まれる時、$2-a < x < 2+a$ を満たす5個の整数は、

$x = 0, 1, 2, 3, 4$ であると考えられます。このとき、$2 - a < 0$ かつ $4 < 2 + a \le 5$ であり、

$a > 2$ かつ $2 < a \le 3$ なので、$2 < a \le 3$ です。

このとき、$2-a < -1$ かつ $5<2+a$である場合、整数は6個以上存在するため、条件を満たしません。

$x = -2, -1, 0, 1, 2$ であると考えられます。このとき、$2 - a < -2$ かつ $2 < 2 + a$ であり、

$a > 4$ かつ $0 < a$ なので、$a > 4$ です。この場合、$-3 < 2-a$ かつ $3 \le 2+a$ を満たす必要があるため、$a<5$である必要があります。したがって、$4 < a < 5$です。

一般に、$n < 2 - a$ かつ $2 + a < n + 5 + 1$ を満たす整数$n$があると考えられます。

$2 - a < -1$ かつ $2 + a > 4$のとき、$a > 3$です。このとき、整数は0,1,2,3,4です。$2-a < 0$かつ$5<2+a$である必要があり、$2<a$かつ$3<a$なので、$a > 3$です。

$2 - a < -2$ かつ $2 + a > 2$のとき、$a > 4$です。このとき、整数は-1,0,1,2,3です。$2-a < -1$かつ$4<2+a$である必要があり、$3<a$かつ$2<a$なので、$a > 3$です。

$2+a$ の範囲について考えます。 $x$ が整数であることから、$n < 2+a < n+1$ となる整数 $n$ があるはずです。

5つの整数が存在するため、$2 - a < n$ かつ $n + 4 < 2 + a$ となります。また、$n - 1 \le 2 - a$ かつ $2 + a \le n + 5$ である必要があります。

したがって、$2 - a < x < 2 + a$ を満たす整数が5つなので、

$2+a - (2-a) > 4$, すなわち $2a > 4$ なので、$a > 2$ が必要です。

$4 < 2a < 6$ であれば、$2 < a < 3$で、$2-a$ は $2-3$と$2-2$の間なので$-1$に近い値で、$2+a$は$2+3$と$2+2$の間なので$5$に近い値を取るため、$x = 0, 1, 2, 3, 4$が整数解となります。

もし $a$ が整数とすると、 $2+a - (2-a) - 1 = 2a - 1 = 5$. $2a=6$となり$a=3$となります。$x$の範囲は$-1 < x < 5$なので$x=0,1,2,3,4$となります。もし$x= -2,-1,0,1,2$が含まれると、$-2 < 2-a$かつ$2 < 2+a$であるため、$4 < a$となり$a>4$となります。

よって、$a = 2.5$ ならば $-0.5 < x < 4.5$ より、$x = 0, 1, 2, 3, 4$ となり条件を満たす。

しかし、$a = 3.5$ ならば $-1.5 < x < 5.5$ より、$x = -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5$ となり条件を満たさない。

一般に、$4 < 2+a<6$でなくてはならないので、$2 < a < 4$です。かつ$-1 > 2-a>-3$である必要があります。$4>a>-1$である必要があります。

ここで、$4 \le 2+a < 5$なら$2 \le a < 3$ですが、この条件は不適当です。

整数が5個になるためには、$a$ は

$4 \le 2+a < 5$ でなくてはなりませんから、$2 \le a < 3$です。

しかし整数が -1, 0, 1, 2, 3になるためには、$4 < a < 5$です。

不等式 $|x - 2| < a$ を書き換えると、$2 - a < x < 2 + a$ となります。この範囲に整数が5個含まれるためには、

$4 \le a < 5$ である必要があります。

3. 最終的な答え

$4 \le a < 5$