(5) 次の式を展開せよ。 ① $(x+3)(x^2-3x+9)$ ② $(3y+x)(x-3y)$ ③ $(x^2+x+1)(x^2-x+1)$ ④ $(2x-1)^3$ ⑤ $(a+3b-2c)^2$ (6) 次の式を因数分解せよ。 ① $(a-b)x+(b-a)y$ ② $2ax^2-8ay^2$ ③ $4x^2-8xy-5y^2$ ④ $(x^2-x)^2-8(x^2-x)+12$ ⑤ $8x^3-125$

1. 問題の内容

(5) 次の式を展開せよ。

① $(x+3)(x^2-3x+9)$

② $(3y+x)(x-3y)$

③ $(x^2+x+1)(x^2-x+1)$

④ $(2x-1)^3$

⑤ $(a+3b-2c)^2$

(6) 次の式を因数分解せよ。

① $(a-b)x+(b-a)y$

② $2ax^2-8ay^2$

③ $4x^2-8xy-5y^2$

④ $(x^2-x)^2-8(x^2-x)+12$

⑤ $8x^3-125$

2. 解き方の手順

(5)

① $(x+3)(x^2-3x+9)$ は、和と差の積の公式 $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ を利用します。この場合、$a=x, b=3$ です。

$$(x+3)(x^2-3x+9) = x^3 + 3^3$$

② $(3y+x)(x-3y)$ は、$x$ と $3y$ の順序を入れ替えると $(x+3y)(x-3y)$ になり、これは和と差の積の公式 $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ を利用できます。

$$(x+3y)(x-3y) = x^2 - (3y)^2$$

③ $(x^2+x+1)(x^2-x+1)$ は、$(x^2+1)$ を共通部分と見て、和と差の積の公式を利用します。

$$(x^2+1+x)(x^2+1-x) = ((x^2+1)+x)((x^2+1)-x) = (x^2+1)^2 - x^2$$

$$(x^2+1)^2 - x^2 = x^4+2x^2+1 - x^2$$

④ $(2x-1)^3$ は、$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ の公式を利用します。この場合、$a=2x, b=1$ です。

$$(2x-1)^3 = (2x)^3 - 3(2x)^2(1) + 3(2x)(1)^2 - (1)^3$$

⑤ $(a+3b-2c)^2$ は、$(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$ の公式を利用します。

$$(a+3b-2c)^2 = a^2 + (3b)^2 + (-2c)^2 + 2(a)(3b) + 2(3b)(-2c) + 2(-2c)(a)$$

(6)

① $(a-b)x+(b-a)y$ は、$b-a = -(a-b)$ を利用して共通因数 $a-b$ をくくり出します。

$$(a-b)x+(b-a)y = (a-b)x-(a-b)y = (a-b)(x-y)$$

② $2ax^2-8ay^2$ は、まず共通因数 $2a$ をくくり出します。

$$2ax^2-8ay^2 = 2a(x^2-4y^2)$$

次に、$x^2-4y^2$ を和と差の積の公式で因数分解します。

$$x^2-4y^2 = (x+2y)(x-2y)$$

③ $4x^2-8xy-5y^2$ は、因数分解 $(ax+by)(cx+dy)$ の形になることを予想して、係数を求めます。

$4x^2-8xy-5y^2 = (2x+y)(2x-5y)$

④ $(x^2-x)^2-8(x^2-x)+12$ は、$A=x^2-x$ と置いて、式を整理します。

$$A^2 - 8A + 12 = (A-2)(A-6)$$

$A$ を元に戻します。

$$(x^2-x-2)(x^2-x-6)$$

それぞれの括弧内を因数分解します。

$$(x^2-x-2)=(x-2)(x+1)$$

$$(x^2-x-6)=(x-3)(x+2)$$

⑤ $8x^3-125$ は、$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ の公式を利用します。この場合、$a=2x, b=5$ です。

$$8x^3-125 = (2x)^3 - 5^3 = (2x-5)((2x)^2+(2x)(5)+5^2)$$

3. 最終的な答え

(5)

① $x^3+27$

② $x^2 - 9y^2$

③ $x^4+x^2+1$

④ $8x^3 - 12x^2 + 6x - 1$

⑤ $a^2+9b^2+4c^2+6ab-12bc-4ca$

(6)

① $(a-b)(x-y)$

② $2a(x+2y)(x-2y)$

③ $(2x+y)(2x-5y)$

④ $(x-2)(x+1)(x-3)(x+2)$

⑤ $(2x-5)(4x^2+10x+25)$