2次関数 $y = x^2 + 2mx - 2m - 1$ のグラフがx軸と接するとき、定数 $m$ の値と、そのときの接点の座標を求める問題です。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 + 2mx - 2m - 1$ のグラフがx軸と接するとき、定数 $m$ の値と、そのときの接点の座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

グラフがx軸と接するということは、2次方程式 $x^2 + 2mx - 2m - 1 = 0$ が重解を持つということです。

判別式 $D$ が $D = 0$ となる条件から $m$ の値を求めます。

判別式 $D$ は、

$D = (2m)^2 - 4(1)(-2m - 1) = 4m^2 + 8m + 4$

$D = 4(m^2 + 2m + 1) = 4(m+1)^2$

$D = 0$ となるのは、$4(m+1)^2 = 0$ のときなので、

$(m+1)^2 = 0$

$m = -1$

$m = -1$ を $y = x^2 + 2mx - 2m - 1$ に代入すると、

$y = x^2 - 2x + 2 - 1 = x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$

よって、接点の座標は $(1, 0)$ となります。

3. 最終的な答え

$m = -1$

接点の座標は $(1, 0)$