問題は、$\frac{1}{2-\sqrt{3}}$ の整数の部分を $a$、小数の部分を $b$ とするとき、(1) $a$ と $b$ の値を求め、(2) $a+2b+b^2+1$ の値を求めるというものです。

1. 問題の内容

問題は、$\frac{1}{2-\sqrt{3}}$ の整数の部分を $a$、小数の部分を $b$ とするとき、(1) $a$ と $b$ の値を求め、(2) $a+2b+b^2+1$ の値を求めるというものです。

2. 解き方の手順

(1) $a$ と $b$ の値を求める。

まず、$\frac{1}{2-\sqrt{3}}$ を有理化します。

$\frac{1}{2-\sqrt{3}} = \frac{1}{2-\sqrt{3}} \times \frac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} = \frac{2+\sqrt{3}}{4-3} = 2+\sqrt{3}$

$\sqrt{3}$ の近似値を求めます。$1 < \sqrt{3} < 2$ であることは知られています。

より精密な近似を求めるために、$1.7^2 = 2.89$ および $1.8^2 = 3.24$ より、$1.7 < \sqrt{3} < 1.8$ であることがわかります。

したがって、$2+1.7 < 2+\sqrt{3} < 2+1.8$ であり、$3.7 < 2+\sqrt{3} < 3.8$ となります。

よって、$2+\sqrt{3}$ の整数の部分は $3$ です。

したがって、$a = 3$ です。

小数の部分 $b$ は、全体の値から整数の部分を引いたものです。

$b = (2+\sqrt{3}) - 3 = \sqrt{3} - 1$

(2) $a+2b+b^2+1$ の値を求める。

$a = 3$ および $b = \sqrt{3} - 1$ を $a+2b+b^2+1$ に代入します。

$a+2b+b^2+1 = 3 + 2(\sqrt{3}-1) + (\sqrt{3}-1)^2 + 1$

$= 3 + 2\sqrt{3} - 2 + (3 - 2\sqrt{3} + 1) + 1$

$= 3 + 2\sqrt{3} - 2 + 4 - 2\sqrt{3} + 1$

$= 3 - 2 + 4 + 1 + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{3}$

$= 6$

3. 最終的な答え

(1) $a=3$, $b=\sqrt{3}-1$

(2) $a+2b+b^2+1 = 6$