与えられた式 $x^4 - 3x^2 + 1$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^4 - 3x^2 + 1$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

この式は、一見すると因数分解できそうにありませんが、以下のように変形することで因数分解できます。

まず、$x^4 + 2x^2 + 1$ を作ってから、$5x^2$ を引くことを考えます。

$x^4 - 3x^2 + 1 = x^4 + 2x^2 + 1 - 5x^2$

ここで、$x^4 + 2x^2 + 1$ は $(x^2 + 1)^2$ と因数分解できます。

また、$5x^2$ は $(\sqrt{5}x)^2$ と表せます。

したがって、

$x^4 - 3x^2 + 1 = (x^2 + 1)^2 - (\sqrt{5}x)^2$

これは、$A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ の形なので、以下のように因数分解できます。

$(x^2 + 1)^2 - (\sqrt{5}x)^2 = (x^2 + 1 + \sqrt{5}x)(x^2 + 1 - \sqrt{5}x)$

通常、降べきの順に整理するので、

$(x^2 + \sqrt{5}x + 1)(x^2 - \sqrt{5}x + 1)$

3. 最終的な答え

$(x^2 + \sqrt{5}x + 1)(x^2 - \sqrt{5}x + 1)$