与えられた式 $x^4 + 5x^2 + 9$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^4 + 5x^2 + 9$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

この式を平方完成のような形に変形することを試みます。

$x^4 + 5x^2 + 9$ に $x^2$ を足して引き、$x^4+6x^2+9$ から $x^2$ を引くことで、$x^2$ の係数が平方完成に適した形になるように調整します。

具体的には、以下のようになります。

$x^4 + 5x^2 + 9 = x^4 + 6x^2 + 9 - x^2$

$= (x^2+3)^2 - x^2$

これは、$A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ の形に因数分解できます。

ここで、$A = x^2 + 3$、$B = x$ とすると、

$(x^2 + 3)^2 - x^2 = (x^2 + 3 + x)(x^2 + 3 - x)$

$= (x^2 + x + 3)(x^2 - x + 3)$

3. 最終的な答え

$(x^2 + x + 3)(x^2 - x + 3)$