与えられた条件が、別の条件に対して、必要条件、十分条件、必要十分条件、あるいはどれでもないかを判断する問題です。 (1) $x < 1$ は $x \le 1$ であるための条件 (2) $x < y$ は $x^4 < y^4$ であるための条件 (3) $xy + 1 = x + y$ は $x, y$ のうち少なくとも1つは1であるための条件 (4) $\angle A < 90^\circ$ は $\triangle ABC$ が鋭角三角形であるための条件 選択肢は以下の通りです。 1. 必要十分条件である

1. 問題の内容

与えられた条件が、別の条件に対して、必要条件、十分条件、必要十分条件、あるいはどれでもないかを判断する問題です。

(1) $x < 1$ は $x \le 1$ であるための条件

(2) $x < y$ は $x^4 < y^4$ であるための条件

(3) $xy + 1 = x + y$ は $x, y$ のうち少なくとも1つは1であるための条件

(4) $\angle A < 90^\circ$ は $\triangle ABC$ が鋭角三角形であるための条件

選択肢は以下の通りです。

1. 必要十分条件である

2. 必要条件であるが十分条件ではない

3. 十分条件であるが必要条件ではない

4. 必要条件でも十分条件でもない

2. 解き方の手順

(1) $x < 1 \Rightarrow x \le 1$ は真です。なぜなら、$x < 1$ であれば、$x = 1$ は含まれないので、$x \le 1$ が成り立つからです。

一方、$x \le 1 \Rightarrow x < 1$ は偽です。なぜなら、$x = 1$ の場合、$x \le 1$ は成り立ちますが、$x < 1$ は成り立たないからです。

したがって、$x < 1$ は $x \le 1$ であるための十分条件ですが、必要条件ではありません。

(2) $x < y \Rightarrow x^4 < y^4$ を考えます。

$x = -1, y = 0$ のとき、$x < y$ は成り立ちますが、$x^4 = 1, y^4 = 0$ なので、$x^4 < y^4$ は成り立ちません。

したがって、$x < y$ は $x^4 < y^4$ であるための十分条件ではありません。

$x^4 < y^4 \Rightarrow x < y$ を考えます。

$x = -2, y = 1$ のとき、$x^4 = 16, y^4 = 1$ なので、$x^4 < y^4$ は成り立ちません。しかし、もし$x^4 < y^4$が成り立てば、$x<y$は成り立つでしょうか?　$y^4 - x^4 = (y-x)(y+x)(y^2+x^2)$なので、$y^4>x^4$かつ$x<y$とならない場合を考えます。$x=-2, y=1$は反例です。

したがって、$x < y$ は $x^4 < y^4$ であるための必要条件でもありません。

(3) $xy + 1 = x + y$ を変形すると、$xy - x - y + 1 = 0$ となり、$x(y - 1) - (y - 1) = 0$ より、$(x - 1)(y - 1) = 0$ となります。これは $x = 1$ または $y = 1$ を意味します。

したがって、$xy + 1 = x + y$ は $x, y$ のうち少なくとも1つは1であるための必要十分条件です。

(4) $\angle A < 90^\circ \Rightarrow \triangle ABC$ が鋭角三角形は偽です。

$\triangle ABC$ が鋭角三角形であるためには、すべての角が $90^\circ$ より小さくなければなりません。$\angle A < 90^\circ$ だけでは、$\angle B$ や $\angle C$ が $90^\circ$ 以上である可能性があるので、十分条件ではありません。

$\triangle ABC$ が鋭角三角形 $\Rightarrow \angle A < 90^\circ$ は真です。

したがって、$\angle A < 90^\circ$ は $\triangle ABC$ が鋭角三角形であるための必要条件ですが、十分条件ではありません。

3. 最終的な答え

(1) 3

(2) 4

(3) 1

(4) 2