与えられた式 $4x^4 + y^4$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $4x^4 + y^4$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

この式は $a^2 + b^2$ の形に似ていますが、因数分解するには、いくつかの項を足したり引いたりする必要があります。具体的には、$4x^4 + y^4$ を完全平方式に近づけるために、$4x^2y^2$ を足して引きます。

まず、$4x^4 + y^4$ に $4x^2y^2$ を足して引きます。

$4x^4 + 4x^2y^2 + y^4 - 4x^2y^2$

$(4x^4 + 4x^2y^2 + y^4)$ の部分は $(2x^2 + y^2)^2$ となります。よって、

$(2x^2 + y^2)^2 - 4x^2y^2$

これは $A^2 - B^2$ の形なので、$A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ を利用して因数分解できます。

ここで、$A = (2x^2 + y^2)$ 、$B = 2xy$ です。

したがって、

$(2x^2 + y^2 + 2xy)(2x^2 + y^2 - 2xy)$

各項を並び替えると、

$(2x^2 + 2xy + y^2)(2x^2 - 2xy + y^2)$

3. 最終的な答え

$(2x^2 + 2xy + y^2)(2x^2 - 2xy + y^2)$