二次関数 $y = 2x^2 + 8x + 12$ のグラフをグラフAとします。 (1) グラフAをどのように平行移動すれば、原点を通り、最小値が-18となるか。 (2) グラフAをどの点について対称移動すれば、軸がy軸と一致し、点(3,0)を通るか。 (3) グラフAと $y = 4x + 10$ の共有点の座標を求めよ。

1. 問題の内容

二次関数 $y = 2x^2 + 8x + 12$ のグラフをグラフAとします。

(1) グラフAをどのように平行移動すれば、原点を通り、最小値が-18となるか。

(2) グラフAをどの点について対称移動すれば、軸がy軸と一致し、点(3,0)を通るか。

(3) グラフAと $y = 4x + 10$ の共有点の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) まず、グラフAの頂点の座標を求めます。

$y = 2x^2 + 8x + 12 = 2(x^2 + 4x) + 12 = 2(x^2 + 4x + 4 - 4) + 12 = 2(x+2)^2 - 8 + 12 = 2(x+2)^2 + 4$

グラフAの頂点は $(-2, 4)$です。

原点を通るように平行移動すると、グラフの式は $y = 2(x-p)^2 - 18$ となります。

頂点が $(p, -18)$ となるように平行移動すると、グラフの最小値が-18になります。

グラフAの頂点 $(-2, 4)$ を $(p, -18)$ に移動させるので、

$p = -2 + a, -18 = 4 + b$ とすると、

$a = p + 2, b = -22$

したがって、平行移動は $x$軸方向に $p+2$, $y$軸方向に -22 となります。

グラフが原点 $(0, 0)$ を通るので、

$0 = 2(0 - p)^2 - 18$

$2p^2 = 18$

$p^2 = 9$

$p = \pm 3$

したがって、$p = 3$ のとき、$x$軸方向に $3+2=5$, $y$軸方向に -22 となります。

$p = -3$ のとき、$x$軸方向に $-3+2=-1$, $y$軸方向に -22 となります。

(2) グラフAを点 $(a, b)$ について対称移動すると、グラフの軸がy軸と一致するので、頂点の $x$ 座標が0になります。

グラフAの頂点は $(-2, 4)$ なので、対称移動後の頂点の $x$ 座標は $-(-2 - a) + a = 2a + 2 = 0$ となります。

$a = -1$

グラフAを点 $(-1, b)$ について対称移動すると、点(3, 0)を通るので、グラフ上の点(3, 0)と点 $(-1, b)$ を結んだ線分の延長線上に、グラフA上の点が存在します。点(3, 0)を点 $(-1, b)$ に関して対称移動した点がグラフA上にあることになります。

対称移動後の点の座標を $(x', y')$ とすると、

$x' = -1 - (3 - (-1)) = -1 - 4 = -5$

$y' = b - (0 - b) = 2b$

点 $(-5, 2b)$ はグラフA上にあるので、

$2b = 2(-5)^2 + 8(-5) + 12 = 2(25) - 40 + 12 = 50 - 40 + 12 = 22$

$b = 11$

したがって、対称移動する点は $(-1, 11)$ です。

(3) グラフAと $y = 4x + 10$ の共有点の座標を求めるには、連立方程式

$y = 2x^2 + 8x + 12$

$y = 4x + 10$

を解きます。

$2x^2 + 8x + 12 = 4x + 10$

$2x^2 + 4x + 2 = 0$

$x^2 + 2x + 1 = 0$

$(x + 1)^2 = 0$

$x = -1$

$y = 4(-1) + 10 = -4 + 10 = 6$

したがって、共有点の座標は $(-1, 6)$ です。

3. 最終的な答え

(1) $x$軸方向に -1 または 5, $y$軸方向に -22 平行移動する。

(2) 点 $(-1, 11)$ について対称移動する。

(3) $(-1, 6)$