問題は以下の通りです。 (1) 循環小数 $0.123$ を既約分数で表す。 (2) 次の式を簡単にせよ。 1. $|-2 + \sqrt{3}|$ 2. $a \geq 4$ のとき $|4 - a|$ 3. $a < -1$ のとき $\sqrt{a^2 + 2a + 1}$ 4. $\frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$ 5. $\sqrt{5 - 2\sqrt{6}}$ 6. $\sqrt{9 + \sqrt{56}}$ 7. $\sqrt{6 - 3\sqrt{3}}$

1. 問題の内容

問題は以下の通りです。

(1) 循環小数 $0.123$ を既約分数で表す。

(2) 次の式を簡単にせよ。

1. $|-2 + \sqrt{3}|$

2. $a \geq 4$ のとき $|4 - a|$

3. $a < -1$ のとき $\sqrt{a^2 + 2a + 1}$

4. $\frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$

5. $\sqrt{5 - 2\sqrt{6}}$

6. $\sqrt{9 + \sqrt{56}}$

7. $\sqrt{6 - 3\sqrt{3}}$

2. 解き方の手順

(1) 循環小数 $0.123$ を既約分数で表す。

$x = 0.123123123...$ とおく。

$1000x = 123.123123123...$

$1000x - x = 123$

$999x = 123$

$x = \frac{123}{999} = \frac{41}{333}$

(2) 次の式を簡単にせよ。

1. $|-2 + \sqrt{3}|$

$\sqrt{3} \approx 1.732$ なので、 $-2 + \sqrt{3} < 0$。

よって、$|-2 + \sqrt{3}| = -(-2 + \sqrt{3}) = 2 - \sqrt{3}$

2. $a \geq 4$ のとき $|4 - a|$

$a \geq 4$ なので、$4 - a \leq 0$。

よって、$|4 - a| = -(4 - a) = a - 4$

3. $a < -1$ のとき $\sqrt{a^2 + 2a + 1}$

$\sqrt{a^2 + 2a + 1} = \sqrt{(a + 1)^2} = |a + 1|$

$a < -1$ なので、$a + 1 < 0$。

よって、$|a + 1| = -(a + 1) = -a - 1$

4. $\frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$

分母を有理化する。

$\frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{(\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})} = \frac{3 + 2\sqrt{6} + 2}{3 - 2} = 5 + 2\sqrt{6}$

5. $\sqrt{5 - 2\sqrt{6}}$

$\sqrt{5 - 2\sqrt{6}} = \sqrt{(\sqrt{3} - \sqrt{2})^2} = |\sqrt{3} - \sqrt{2}| = \sqrt{3} - \sqrt{2}$

6. $\sqrt{9 + \sqrt{56}}$

$\sqrt{9 + \sqrt{56}} = \sqrt{9 + 2\sqrt{14}} = \sqrt{(\sqrt{7} + \sqrt{2})^2} = |\sqrt{7} + \sqrt{2}| = \sqrt{7} + \sqrt{2}$

7. $\sqrt{6 - 3\sqrt{3}}$

$\sqrt{6 - 3\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{12 - 6\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{12 - 6\sqrt{3}}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{9 - 6\sqrt{3} + 3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{(3 - \sqrt{3})^2}}{\sqrt{2}} = \frac{|3 - \sqrt{3}|}{\sqrt{2}} = \frac{3 - \sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{6}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{41}{333}$

(2)

1. $2 - \sqrt{3}$

2. $a - 4$

3. $-a - 1$

4. $5 + 2\sqrt{6}$

5. $\sqrt{3} - \sqrt{2}$

6. $\sqrt{7} + \sqrt{2}$

7. $\frac{3\sqrt{2} - \sqrt{6}}{2}$