ベクトル $\vec{a} = (5, -2)$ と $\vec{b} = (-2, 3)$ が与えられているとき、以下のベクトルを $\vec{c} = m\vec{a} + n\vec{b}$ の形で表す。(1) $\vec{c} = (1, 4)$、(2) $\vec{d} = (12, -7)$.

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (5, -2)$ と $\vec{b} = (-2, 3)$ が与えられているとき、以下のベクトルを $\vec{c} = m\vec{a} + n\vec{b}$ の形で表す。(1) $\vec{c} = (1, 4)$、(2) $\vec{d} = (12, -7)$.

2. 解き方の手順

(1) $\vec{c} = (1, 4)$ の場合:

$\vec{c} = m\vec{a} + n\vec{b}$ と表す。成分で表すと、

$(1, 4) = m(5, -2) + n(-2, 3)$

$(1, 4) = (5m - 2n, -2m + 3n)$

したがって、以下の連立方程式が得られる。

$5m - 2n = 1$

$-2m + 3n = 4$

この連立方程式を解く。

1つ目の式を2倍、2つ目の式を5倍して足し合わせると、

$10m - 4n = 2$

$-10m + 15n = 20$

足すと、

$11n = 22$

$n = 2$

$n = 2$ を $5m - 2n = 1$ に代入すると、

$5m - 2(2) = 1$

$5m - 4 = 1$

$5m = 5$

$m = 1$

よって、$\vec{c} = \vec{a} + 2\vec{b}$

(2) $\vec{d} = (12, -7)$ の場合:

$\vec{d} = m\vec{a} + n\vec{b}$ と表す。成分で表すと、

$(12, -7) = m(5, -2) + n(-2, 3)$

$(12, -7) = (5m - 2n, -2m + 3n)$

したがって、以下の連立方程式が得られる。

$5m - 2n = 12$

$-2m + 3n = -7$

この連立方程式を解く。

1つ目の式を2倍、2つ目の式を5倍して足し合わせると、

$10m - 4n = 24$

$-10m + 15n = -35$

足すと、

$11n = -11$

$n = -1$

$n = -1$ を $5m - 2n = 12$ に代入すると、

$5m - 2(-1) = 12$

$5m + 2 = 12$

$5m = 10$

$m = 2$

よって、$\vec{d} = 2\vec{a} - \vec{b}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{c} = \vec{a} + 2\vec{b}$

(2) $\vec{d} = 2\vec{a} - \vec{b}$