$x^6 - 64$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

$x^6 - 64$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

まず、$x^6$を$(x^2)^3$または$(x^3)^2$と見て、64を$4^3$または$8^2$と見ます。

ここでは、まず2乗の差の形を利用します。

$x^6 - 64 = (x^3)^2 - 8^2$

2乗の差の公式 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ を適用します。

$(x^3)^2 - 8^2 = (x^3 + 8)(x^3 - 8)$

次に、和と差の3乗の公式を適用します。

$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$

$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$

$x^3 + 8 = x^3 + 2^3 = (x+2)(x^2 - 2x + 4)$

$x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x-2)(x^2 + 2x + 4)$

したがって、

$x^6 - 64 = (x^3 + 8)(x^3 - 8) = (x+2)(x^2 - 2x + 4)(x-2)(x^2 + 2x + 4)$

並び替えて、

$x^6 - 64 = (x-2)(x+2)(x^2 - 2x + 4)(x^2 + 2x + 4)$

3. 最終的な答え

$(x-2)(x+2)(x^2-2x+4)(x^2+2x+4)$