与えられた式 $x^6 - 19x^3 - 216$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^6 - 19x^3 - 216$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x^3 = y$ と置換します。すると、与えられた式は

$y^2 - 19y - 216$

となります。

この2次式を因数分解することを考えます。

掛け合わせて-216、足して-19となる2つの数を探します。

216を素因数分解すると、$216 = 2^3 \cdot 3^3 = 8 \cdot 27$ となります。

27と8の差は19なので、-27と8が求める数であることがわかります。

したがって、

$y^2 - 19y - 216 = (y - 27)(y + 8)$

となります。

ここで、$y = x^3$ に戻すと、

$(x^3 - 27)(x^3 + 8)$

となります。

さらに、$x^3 - 27$ は $x^3 - 3^3$ と書けるので、$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ の公式より、

$x^3 - 27 = (x - 3)(x^2 + 3x + 9)$

となります。

同様に、$x^3 + 8$ は $x^3 + 2^3$ と書けるので、$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ の公式より、

$x^3 + 8 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)$

となります。

したがって、

$(x^3 - 27)(x^3 + 8) = (x - 3)(x^2 + 3x + 9)(x + 2)(x^2 - 2x + 4)$

となります。

3. 最終的な答え

$(x - 3)(x + 2)(x^2 + 3x + 9)(x^2 - 2x + 4)$