実数 $a, b, c$ が $a+b+c = 1$, $ab+bc+ca = -2$, $abc = -1$ を満たすとき、以下の式の値を求めます。 (1) $a^2+b^2+c^2$ (2) $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}$ (3) $a^4+b^4+c^4$ (4) $a^3+b^3+c^3$

1. 問題の内容

実数 $a, b, c$ が $a+b+c = 1$, $ab+bc+ca = -2$, $abc = -1$ を満たすとき、以下の式の値を求めます。

(1) $a^2+b^2+c^2$

(2) $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}$

(3) $a^4+b^4+c^4$

(4) $a^3+b^3+c^3$

2. 解き方の手順

(1) $a^2+b^2+c^2$ の計算

$(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$ の関係式を使います。

$a+b+c = 1$ および $ab+bc+ca = -2$ を代入すると、

$1^2 = a^2+b^2+c^2+2(-2)$

$1 = a^2+b^2+c^2-4$

$a^2+b^2+c^2 = 5$

(2) $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}$ の計算

$\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} = \frac{(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2}{(abc)^2}$ と変形できます。

$(ab+bc+ca)^2 = (ab)^2+(bc)^2+(ca)^2+2(ab^2c+abc^2+a^2bc)$

$(ab+bc+ca)^2 = (ab)^2+(bc)^2+(ca)^2+2abc(a+b+c)$

$(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2 = (ab+bc+ca)^2 - 2abc(a+b+c)$

$ab+bc+ca = -2$, $abc = -1$, $a+b+c = 1$ を代入すると、

$(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2 = (-2)^2 - 2(-1)(1) = 4+2 = 6$

$\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} = \frac{6}{(-1)^2} = \frac{6}{1} = 6$

(3) $a^4+b^4+c^4$ の計算

まず、$(a^2+b^2+c^2)^2 = a^4+b^4+c^4+2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$ と変形します。

次に、$(ab+bc+ca)^2 = a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc(a+b+c)$ より、

$a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 = (ab+bc+ca)^2-2abc(a+b+c) = (-2)^2-2(-1)(1) = 4+2 = 6$

したがって、$a^4+b^4+c^4 = (a^2+b^2+c^2)^2 - 2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2) = 5^2-2(6) = 25-12 = 13$

(4) $a^3+b^3+c^3$ の計算

$a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$ という公式を使います。

$a^3+b^3+c^3 = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-(ab+bc+ca))+3abc$

$a^3+b^3+c^3 = (1)(5-(-2))+3(-1) = 1(5+2)-3 = 7-3 = 4$

3. 最終的な答え

(1) $a^2+b^2+c^2 = 5$

(2) $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} = 6$

(3) $a^4+b^4+c^4 = 13$

(4) $a^3+b^3+c^3 = 4$