$x + \frac{1}{x} = 3$ のとき、次の式の値を求めよ。 (1) $x^2 + \frac{1}{x^2}$ (2) $x^3 + \frac{1}{x^3}$ (3) $x^4 + \frac{1}{x^4}$ (4) $x - \frac{1}{x}$

1. 問題の内容

$x + \frac{1}{x} = 3$ のとき、次の式の値を求めよ。

(1) $x^2 + \frac{1}{x^2}$

(2) $x^3 + \frac{1}{x^3}$

(3) $x^4 + \frac{1}{x^4}$

(4) $x - \frac{1}{x}$

2. 解き方の手順

(1)

$x + \frac{1}{x} = 3$ の両辺を2乗すると、

$(x + \frac{1}{x})^2 = 3^2$

$x^2 + 2(x)(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x^2} = 9$

$x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = 9$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 9 - 2 = 7$

(2)

$x + \frac{1}{x} = 3$ の両辺を3乗すると、

$(x + \frac{1}{x})^3 = 3^3$

$x^3 + 3(x^2)(\frac{1}{x}) + 3(x)(\frac{1}{x^2}) + \frac{1}{x^3} = 27$

$x^3 + 3x + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^3} = 27$

$x^3 + \frac{1}{x^3} + 3(x + \frac{1}{x}) = 27$

$x^3 + \frac{1}{x^3} + 3(3) = 27$

$x^3 + \frac{1}{x^3} = 27 - 9 = 18$

(3)

(1)より、$x^2 + \frac{1}{x^2} = 7$ である。

両辺を2乗すると、

$(x^2 + \frac{1}{x^2})^2 = 7^2$

$x^4 + 2(x^2)(\frac{1}{x^2}) + \frac{1}{x^4} = 49$

$x^4 + 2 + \frac{1}{x^4} = 49$

$x^4 + \frac{1}{x^4} = 49 - 2 = 47$

(4)

$(x - \frac{1}{x})^2 = x^2 - 2(x)(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x^2} = x^2 - 2 + \frac{1}{x^2}$

(1)より、$x^2 + \frac{1}{x^2} = 7$ であるから、

$(x - \frac{1}{x})^2 = 7 - 2 = 5$

$x - \frac{1}{x} = \pm \sqrt{5}$

3. 最終的な答え

(1) 7

(2) 18

(3) 47

(4) $\pm \sqrt{5}$