与えられた式 $x^6 - 2x^3 + 1$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^6 - 2x^3 + 1$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、$x^3$ を $A$ と置換します。すると、与えられた式は

$x^6 - 2x^3 + 1 = (x^3)^2 - 2(x^3) + 1$

$= A^2 - 2A + 1$

と書けます。

これは、$A$ についての二次式であり、$(A-1)^2$ と因数分解できます。

したがって、

$A^2 - 2A + 1 = (A-1)^2$

次に、$A$ を $x^3$ に戻すと、

$(A-1)^2 = (x^3 - 1)^2$

となります。

さらに、$x^3 - 1$ は $x^3 - 1^3$ と書けるため、因数分解の公式 $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ を用いることができます。

よって、

$x^3 - 1 = (x-1)(x^2 + x + 1)$

したがって、

$(x^3 - 1)^2 = ((x-1)(x^2 + x + 1))^2 = (x-1)^2(x^2 + x + 1)^2$

3. 最終的な答え

$(x-1)^2(x^2+x+1)^2$