与えられた式 $a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b)$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b)$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

与式を展開し、整理して因数分解します。

まず、式を展開します。

$a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b) = a^2b - a^2c + b^2c - b^2a + c^2a - c^2b$

次に、式を整理します。ここでは、$a$ について降べきの順に並べ替えます。

$a^2b - a^2c - ab^2 + ac^2 + b^2c - bc^2 = (b-c)a^2 - (b^2-c^2)a + (b^2c-bc^2)$

ここで、$b^2-c^2 = (b-c)(b+c)$ および $b^2c - bc^2 = bc(b-c)$ であることに注意すると、

$(b-c)a^2 - (b-c)(b+c)a + bc(b-c)$

式全体に $(b-c)$ が共通因数として存在するので、これをくくりだします。

$(b-c)[a^2 - (b+c)a + bc]$

括弧の中身を因数分解します。

$(b-c)[a^2 - ba - ca + bc] = (b-c)[a(a-b) - c(a-b)] = (b-c)(a-b)(a-c)$

ここで、$a-c$ を $-(c-a)$ と変形すると、

$(b-c)(a-b)(a-c) = -(a-b)(b-c)(c-a)$

3. 最終的な答え

$-(a-b)(b-c)(c-a)$

または

$(a-b)(c-b)(c-a)$

または

$(a-b)(b-c)(a-c)$

あるいは

$-(a-b)(b-c)(c-a)$