写真に写っている数学の問題は、絶対値記号を含む方程式や不等式を解く問題です。具体的には、以下の6つの問題を解きます。 (1) $|x - 2| = 5$ (2) $|2x - 3| < 1$ (3) $|x + 2| - |2x - 3| = 1$ (4) $x^2 + |x| - 12 = 0$ (5) $|x + 1| = 2x$ (6) $|x| + |x - 2| < x + 1$

## 数学の問題の解答

1. 問題の内容

写真に写っている数学の問題は、絶対値記号を含む方程式や不等式を解く問題です。具体的には、以下の6つの問題を解きます。

(1) $|x - 2| = 5$

(2) $|2x - 3| < 1$

(3) $|x + 2| - |2x - 3| = 1$

(4) $x^2 + |x| - 12 = 0$

(5) $|x + 1| = 2x$

(6) $|x| + |x - 2| < x + 1$

2. 解き方の手順

**(1) $|x - 2| = 5$**

絶対値の定義より、$x - 2 = 5$ または $x - 2 = -5$ となります。

$x - 2 = 5$ の場合、$x = 7$

$x - 2 = -5$ の場合、$x = -3$

**(2) $|2x - 3| < 1$**

絶対値の定義より、$-1 < 2x - 3 < 1$ となります。

各辺に3を加えると、$2 < 2x < 4$

各辺を2で割ると、$1 < x < 2$

**(3) $|x + 2| - |2x - 3| = 1$**

場合分けをして考えます。

* **場合1: $x < -2$** のとき

$-(x + 2) - (-(2x - 3)) = 1$

$-x - 2 + 2x - 3 = 1$

$x - 5 = 1$

$x = 6$

これは $x < -2$ を満たさないため、不適。

* **場合2: $-2 \leq x < \frac{3}{2}$** のとき

$(x + 2) - (-(2x - 3)) = 1$

$x + 2 + 2x - 3 = 1$

$3x - 1 = 1$

$3x = 2$

$x = \frac{2}{3}$

これは $-2 \leq x < \frac{3}{2}$ を満たすため、適する。

* **場合3: $x \geq \frac{3}{2}$** のとき

$(x + 2) - (2x - 3) = 1$

$x + 2 - 2x + 3 = 1$

$-x + 5 = 1$

$-x = -4$

$x = 4$

これは $x \geq \frac{3}{2}$ を満たすため、適する。

**(4) $x^2 + |x| - 12 = 0$**

* **場合1: $x \geq 0$** のとき

$x^2 + x - 12 = 0$

$(x + 4)(x - 3) = 0$

$x = -4, 3$

$x \geq 0$ より、$x = 3$

* **場合2: $x < 0$** のとき

$x^2 - x - 12 = 0$

$(x - 4)(x + 3) = 0$

$x = 4, -3$

$x < 0$ より、$x = -3$

**(5) $|x + 1| = 2x$**

* **場合1: $x + 1 \geq 0$ (つまり、$x \geq -1$)** のとき

$x + 1 = 2x$

$1 = x$

$x = 1$

これは $x \geq -1$ を満たすため、適する。

* **場合2: $x + 1 < 0$ (つまり、$x < -1$)** のとき

$-(x + 1) = 2x$

$-x - 1 = 2x$

$-1 = 3x$

$x = -\frac{1}{3}$

これは $x < -1$ を満たさないため、不適。

**(6) $|x| + |x - 2| < x + 1$**

場合分けをして考えます。

* **場合1: $x < 0$** のとき

$-x + (-(x - 2)) < x + 1$

$-x - x + 2 < x + 1$

$-2x + 2 < x + 1$

$1 < 3x$

$x > \frac{1}{3}$

これは $x < 0$ を満たさないため、不適。

* **場合2: $0 \leq x < 2$** のとき

$x + (-(x - 2)) < x + 1$

$x - x + 2 < x + 1$

$2 < x + 1$

$1 < x$

したがって、$1 < x < 2$

* **場合3: $x \geq 2$** のとき

$x + (x - 2) < x + 1$

$2x - 2 < x + 1$

$x < 3$

したがって、$2 \leq x < 3$

3. 最終的な答え

(1) $x = 7, -3$

(2) $1 < x < 2$

(3) $x = \frac{2}{3}, 4$

(4) $x = 3, -3$

(5) $x = 1$

(6) $1 < x < 3$