$a:b:c = 2:3:4$ のとき、$\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$a:b:c = 2:3:4$ のとき、$\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

$a:b:c = 2:3:4$ より、$a = 2k$, $b = 3k$, $c = 4k$ （$k$は定数）とおけます。

これを $\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}$ に代入します。

分子は

$ab+bc+ca = (2k)(3k) + (3k)(4k) + (4k)(2k) = 6k^2 + 12k^2 + 8k^2 = 26k^2$

分母は

$a^2+b^2+c^2 = (2k)^2 + (3k)^2 + (4k)^2 = 4k^2 + 9k^2 + 16k^2 = 29k^2$

したがって、

$\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2} = \frac{26k^2}{29k^2} = \frac{26}{29}$

3. 最終的な答え

$\frac{26}{29}$