実数 $a, b, c$ が $a+b+c = 1$, $ab+bc+ca = -2$, $abc = -1$ を満たすとき、以下の式の値を求めよ。 (1) $a^2+b^2+c^2$ (2) $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}$ (3) $a^4+b^4+c^4$ (4) $a^3+b^3+c^3$

1. 問題の内容

実数 $a, b, c$ が $a+b+c = 1$, $ab+bc+ca = -2$, $abc = -1$ を満たすとき、以下の式の値を求めよ。

(1) $a^2+b^2+c^2$

(2) $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}$

(3) $a^4+b^4+c^4$

(4) $a^3+b^3+c^3$

2. 解き方の手順

(1)

$(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab+bc+ca)$ の関係を用いる。

$a^2 + b^2 + c^2 = (a+b+c)^2 - 2(ab+bc+ca)$

与えられた値を代入する。

$a^2 + b^2 + c^2 = (1)^2 - 2(-2) = 1 + 4 = 5$

(2)

$\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} = \frac{(ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2}{(abc)^2}$

ここで、$(ab+bc+ca)^2 = (ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2 + 2(ab^2c + abc^2 + a^2bc)$

$(ab+bc+ca)^2 = (ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2 + 2abc(a+b+c)$

$(ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2 = (ab+bc+ca)^2 - 2abc(a+b+c)$

与えられた値を代入する。

$(ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2 = (-2)^2 - 2(-1)(1) = 4 + 2 = 6$

したがって、

$\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} = \frac{6}{(-1)^2} = 6$

(3)

$(a^2+b^2+c^2)^2 = a^4+b^4+c^4 + 2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$

$a^4+b^4+c^4 = (a^2+b^2+c^2)^2 - 2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$

(2)より$a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 = 6$

$a^4+b^4+c^4 = (5)^2 - 2(6) = 25 - 12 = 13$

(4)

$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$

$a^3 + b^3 + c^3 = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) + 3abc$

与えられた値を代入する。

$a^3 + b^3 + c^3 = (1)(5-(-2)) + 3(-1) = 7 - 3 = 4$

3. 最終的な答え

(1) $a^2+b^2+c^2 = 5$

(2) $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} = 6$

(3) $a^4+b^4+c^4 = 13$

(4) $a^3+b^3+c^3 = 4$