画像に示された6つの絶対値を含む方程式または不等式を解く問題です。

1. 問題の内容

画像に示された6つの絶対値を含む方程式または不等式を解く問題です。

2. 解き方の手順

(1) $|x - 2| = 5$

絶対値の定義より、$x - 2 = 5$ または $x - 2 = -5$ となります。

$x - 2 = 5$ の場合、$x = 7$。

$x - 2 = -5$ の場合、$x = -3$。

(2) $|2x - 3| < 1$

絶対値の定義より、$-1 < 2x - 3 < 1$ となります。

各辺に3を加えると、$2 < 2x < 4$。

各辺を2で割ると、$1 < x < 2$。

(3) $|x + 2| - |2x - 3| = 1$

場合分けを行います。

(i) $x < -2$ のとき、$x + 2 < 0$ かつ $2x - 3 < 0$ なので、$-(x + 2) - (-(2x - 3)) = 1$。

$-x - 2 + 2x - 3 = 1$

$x - 5 = 1$

$x = 6$。 これは、$x < -2$ を満たさないので、解ではない。

(ii) $-2 \le x < \frac{3}{2}$ のとき、$x + 2 \ge 0$ かつ $2x - 3 < 0$ なので、$(x + 2) - (-(2x - 3)) = 1$。

$x + 2 + 2x - 3 = 1$

$3x - 1 = 1$

$3x = 2$

$x = \frac{2}{3}$。 これは、$-2 \le x < \frac{3}{2}$ を満たすので解。

(iii) $x \ge \frac{3}{2}$ のとき、$x + 2 > 0$ かつ $2x - 3 \ge 0$ なので、$(x + 2) - (2x - 3) = 1$。

$x + 2 - 2x + 3 = 1$

$-x + 5 = 1$

$-x = -4$

$x = 4$。 これは、$x \ge \frac{3}{2}$ を満たすので解。

(4) $x^2 + |x| - 12 = 0$

(i) $x \ge 0$ のとき、$x^2 + x - 12 = 0$。

$(x + 4)(x - 3) = 0$

$x = -4$ または $x = 3$。 $x \ge 0$ より、$x = 3$。

(ii) $x < 0$ のとき、$x^2 - x - 12 = 0$。

$(x - 4)(x + 3) = 0$

$x = 4$ または $x = -3$。 $x < 0$ より、$x = -3$。

(5) $|x + 1| = 2x$

$2x \ge 0$ より、$x \ge 0$。

$x + 1 = 2x$ または $x + 1 = -2x$。

$x + 1 = 2x$ の場合、$x = 1$。これは、$x \ge 0$ を満たす。

$x + 1 = -2x$ の場合、$3x = -1$ より、$x = -\frac{1}{3}$。これは、$x \ge 0$ を満たさない。

(6) $|x| + |x - 2| < x + 1$

場合分けを行います。

(i) $x < 0$ のとき、$-x - (x - 2) < x + 1$。

$-x - x + 2 < x + 1$

$-2x + 2 < x + 1$

$1 < 3x$

$x > \frac{1}{3}$。 これは、$x < 0$ を満たさないので、解はない。

(ii) $0 \le x < 2$ のとき、$x - (x - 2) < x + 1$。

$x - x + 2 < x + 1$

$2 < x + 1$

$x > 1$。 $0 \le x < 2$ とあわせて、$1 < x < 2$。

(iii) $x \ge 2$ のとき、$x + (x - 2) < x + 1$。

$2x - 2 < x + 1$

$x < 3$。 $x \ge 2$ とあわせて、$2 \le x < 3$。

(ii)と(iii)より、$1 < x < 3$。

3. 最終的な答え

(1) $x = 7, -3$

(2) $1 < x < 2$

(3) $x = \frac{2}{3}, 4$

(4) $x = 3, -3$

(5) $x = 1$

(6) $1 < x < 3$