(1) $a, b, c, d$ が正の数で $a > b, c > d$ のとき、$ac > bd$ であることを証明する。 (2) $x > y$ のとき、$\frac{x+2y}{3} > \frac{x+3y}{4}$ であることを証明する。 (3) $a > b > c > d$ のとき、$ab + cd > ac + bd$ を証明する。

1. 問題の内容

(1) $a, b, c, d$ が正の数で $a > b, c > d$ のとき、$ac > bd$ であることを証明する。

(2) $x > y$ のとき、$\frac{x+2y}{3} > \frac{x+3y}{4}$ であることを証明する。

(3) $a > b > c > d$ のとき、$ab + cd > ac + bd$ を証明する。

2. 解き方の手順

(1)

$a > b$ かつ $c > d$ であり、$a, b, c, d$ は正の数である。

$a > b$ の両辺に正の数 $c$ を掛けると $ac > bc$。

$c > d$ の両辺に正の数 $b$ を掛けると $bc > bd$。

したがって、$ac > bc > bd$ より、$ac > bd$ が成り立つ。

(2)

$\frac{x+2y}{3} > \frac{x+3y}{4}$ を示すために、両辺の差を考える。

$\frac{x+2y}{3} - \frac{x+3y}{4} = \frac{4(x+2y) - 3(x+3y)}{12} = \frac{4x + 8y - 3x - 9y}{12} = \frac{x - y}{12}$

$x > y$ より $x - y > 0$ であるから、$\frac{x - y}{12} > 0$。

よって、$\frac{x+2y}{3} - \frac{x+3y}{4} > 0$ となり、$\frac{x+2y}{3} > \frac{x+3y}{4}$ が成り立つ。

(3)

$ab + cd > ac + bd$ を示すために、両辺の差を考える。

$ab + cd - (ac + bd) = ab - ac + cd - bd = a(b-c) - d(b-c) = (a-d)(b-c)$

$a > b > c > d$ より、$a > d$ かつ $b > c$ であるから、$a - d > 0$ かつ $b - c > 0$。

したがって、$(a-d)(b-c) > 0$ となり、$ab + cd - (ac + bd) > 0$。

よって、$ab + cd > ac + bd$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

(1) $ac > bd$

(2) $\frac{x+2y}{3} > \frac{x+3y}{4}$

(3) $ab + cd > ac + bd$