2つの関数 $y = ax^2$ と $y = bx + 4$ (ただし $b > 0$) がある。$x$ の変域が $-1 \le x \le 2$ のとき、$y$ の変域が同じになる。このとき、$a$ と $b$ の値を求める。

1. 問題の内容

2つの関数 $y = ax^2$ と $y = bx + 4$ (ただし $b > 0$) がある。$x$ の変域が $-1 \le x \le 2$ のとき、$y$ の変域が同じになる。このとき、$a$ と $b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$y = ax^2$ の $x$ の変域 $-1 \le x \le 2$ における $y$ の変域を考える。

$x = 0$ を含むので、 $y$ の最小値は $0$ である。

$x = -1$ のとき $y = a$、$x = 2$ のとき $y = 4a$ である。

$a > 0$ の場合は、$4a > a$ なので、$y$ の最大値は $4a$ である。

$a < 0$ の場合は、$a > 4a$ なので、$y$ の最大値は $a$ である。

$a = 0$ の場合は、$y$ は常に $0$ である。

次に、$y = bx + 4$ ($b > 0$) の $x$ の変域 $-1 \le x \le 2$ における $y$ の変域を考える。

$x = -1$ のとき $y = -b + 4$、$x = 2$ のとき $y = 2b + 4$ である。

$b > 0$ なので、 $-b + 4 < 2b + 4$ となり、$y$ の最小値は $-b + 4$、最大値は $2b + 4$ である。

問題文より、$y$ の変域が同じなので、$a \neq 0$ である。

$a > 0$ の場合、$y$ の変域は $0 \le y \le 4a$ となり、$-b + 4 = 0$ かつ $2b + 4 = 4a$ が成り立つ。

$-b + 4 = 0$ より、$b = 4$ である。

$2b + 4 = 4a$ に $b = 4$ を代入すると、$2(4) + 4 = 4a$ となり、$12 = 4a$ なので、$a = 3$ である。

このとき、$a > 0$、$b > 0$ を満たす。

$a < 0$ の場合、$y$ の変域は $4a \le y \le 0$ となり、$-b + 4 = 4a$ かつ $2b + 4 = 0$ が成り立つ。

$2b + 4 = 0$ より、$b = -2$ となるが、$b > 0$ に反する。

したがって、$a = 3$、$b = 4$ である。

3. 最終的な答え

$a = 3$

$b = 4$