与えられた分数式 $\frac{x-\frac{9}{x}}{1-\frac{3}{x}}$ を簡単にします。

## (1)の問題

1. 問題の内容

与えられた分数式 $\frac{x-\frac{9}{x}}{1-\frac{3}{x}}$ を簡単にします。

2. 解き方の手順

まず、分子と分母をそれぞれ簡単にします。分子と分母に $x$ をかけます。

分子は $x-\frac{9}{x} = \frac{x^2}{x} - \frac{9}{x} = \frac{x^2-9}{x}$ となります。

分母は $1-\frac{3}{x} = \frac{x}{x} - \frac{3}{x} = \frac{x-3}{x}$ となります。

したがって、元の分数式は $\frac{\frac{x^2-9}{x}}{\frac{x-3}{x}}$ となります。

この分数式を簡単にするには、分子を分母で割ります。つまり、$\frac{x^2-9}{x} \div \frac{x-3}{x}$ を計算します。

割り算は掛け算に変換できます。$\frac{x^2-9}{x} \times \frac{x}{x-3}$ となります。

$x^2-9$ は $(x-3)(x+3)$ と因数分解できます。

したがって、$\frac{(x-3)(x+3)}{x} \times \frac{x}{x-3}$ となります。

$x$ と $x-3$ が約分できるので、答えは $x+3$ となります。

3. 最終的な答え

$x+3$

## (2)の問題

1. 問題の内容

与えられた分数式 $\frac{1}{1-\frac{1}{1-\frac{1}{x}}}$ を簡単にします。

2. 解き方の手順

まず、最も内側の分数を簡略化します。

$1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}$

次に、その逆数をとります。

$\frac{1}{1-\frac{1}{x}}=\frac{x}{x-1}$

次に、これを $1$ から引きます。

$1-\frac{1}{1-\frac{1}{x}} = 1 - \frac{x}{x-1}=\frac{x-1-x}{x-1}=\frac{-1}{x-1}$

最後に、その逆数をとります。

$\frac{1}{1-\frac{1}{1-\frac{1}{x}}} = \frac{1}{\frac{-1}{x-1}}=-(x-1)=1-x$

3. 最終的な答え

$1-x$