与えられた式の展開式における、指定された項の係数を求める問題です。 (1) $(x+4)^5$ の展開式における $x^3$ の項の係数 (2) $(x-2)^7$ の展開式における $x^5$ の項の係数 (3) $(2x+3)^4$ の展開式における $x^3$ の項の係数 (4) $(3x^2+1)^5$ の展開式における $x^6$ の項の係数 (5) $(2x-3y+z)^7$ の展開式における $x^2y^3z^2$ の項の係数

はい、承知いたしました。それでは、画像にある数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた式の展開式における、指定された項の係数を求める問題です。

(1) $(x+4)^5$ の展開式における $x^3$ の項の係数

(2) $(x-2)^7$ の展開式における $x^5$ の項の係数

(3) $(2x+3)^4$ の展開式における $x^3$ の項の係数

(4) $(3x^2+1)^5$ の展開式における $x^6$ の項の係数

(5) $(2x-3y+z)^7$ の展開式における $x^2y^3z^2$ の項の係数

2. 解き方の手順

(1) 二項定理より、$(x+4)^5$ の展開式における一般項は、

$_{5}C_{k} x^{5-k} 4^k$

$x^3$ の項の係数を求めたいので、$5-k = 3$ となる $k$ を求める。$k = 2$。

よって、係数は $_{5}C_{2} 4^2 = \frac{5!}{2!3!} \times 16 = 10 \times 16 = 160$。

(2) 二項定理より、$(x-2)^7$ の展開式における一般項は、

$_{7}C_{k} x^{7-k} (-2)^k$

$x^5$ の項の係数を求めたいので、$7-k = 5$ となる $k$ を求める。$k = 2$。

よって、係数は $_{7}C_{2} (-2)^2 = \frac{7!}{2!5!} \times 4 = 21 \times 4 = 84$。

(3) 二項定理より、$(2x+3)^4$ の展開式における一般項は、

$_{4}C_{k} (2x)^{4-k} 3^k$

$x^3$ の項の係数を求めたいので、$4-k = 3$ となる $k$ を求める。$k = 1$。

よって、係数は $_{4}C_{1} (2)^3 3^1 = 4 \times 8 \times 3 = 96$。

(4) 二項定理より、$(3x^2+1)^5$ の展開式における一般項は、

$_{5}C_{k} (3x^2)^{5-k} 1^k$

$x^6$ の項の係数を求めたいので、$2(5-k) = 6$ となる $k$ を求める。$5-k = 3$ より $k = 2$。

よって、係数は $_{5}C_{2} (3)^3 = \frac{5!}{2!3!} \times 27 = 10 \times 27 = 270$。

(5) 多項定理より、$(2x-3y+z)^7$ の展開式における一般項は、

$\frac{7!}{p!q!r!} (2x)^p (-3y)^q z^r$ (ただし、$p+q+r = 7$)。

$x^2y^3z^2$ の項の係数を求めたいので、$p=2, q=3, r=2$。

よって、係数は $\frac{7!}{2!3!2!} (2)^2 (-3)^3 (1)^2 = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4}{2 \times 2} \times 4 \times (-27) = 210 \times 4 \times (-27) = -22680$。

3. 最終的な答え

(1) 160

(2) 84

(3) 96

(4) 270

(5) -22680