与えられた連立一次方程式 $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \\ -3 \end{bmatrix}$ の拡大係数行列を簡約化し、その結果に基づいて連立一次方程式の解を求める問題です。アには簡約化された拡大係数行列が、イには連立一次方程式の解が入ります。

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \\ -3 \end{bmatrix}$

の拡大係数行列を簡約化し、その結果に基づいて連立一次方程式の解を求める問題です。アには簡約化された拡大係数行列が、イには連立一次方程式の解が入ります。

2. 解き方の手順

まず、与えられた連立一次方程式の拡大係数行列を作ります。

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 0 \\ 2 & 1 & 1 & | & 5 \\ 1 & 2 & -2 & | & -3 \end{bmatrix}$

次に、この行列を簡約化します。

(1) 2行目から1行目の2倍を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 0 \\ 0 & -3 & -1 & | & 5 \\ 1 & 2 & -2 & | & -3 \end{bmatrix}$

(2) 3行目から1行目を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 0 \\ 0 & -3 & -1 & | & 5 \\ 0 & 0 & -3 & | & -3 \end{bmatrix}$

(3) 2行目を-3で割ります。

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 0 \\ 0 & 1 & 1/3 & | & -5/3 \\ 0 & 0 & -3 & | & -3 \end{bmatrix}$

(4) 3行目を-3で割ります。

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 0 \\ 0 & 1 & 1/3 & | & -5/3 \\ 0 & 0 & 1 & | & 1 \end{bmatrix}$

(5) 2行目から3行目の1/3倍を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 0 \\ 0 & 1 & 0 & | & -2 \\ 0 & 0 & 1 & | & 1 \end{bmatrix}$

(6) 1行目から3行目を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & | & -1 \\ 0 & 1 & 0 & | & -2 \\ 0 & 0 & 1 & | & 1 \end{bmatrix}$

(7) 1行目から2行目の2倍を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 3 \\ 0 & 1 & 0 & | & -2 \\ 0 & 0 & 1 & | & 1 \end{bmatrix}$

したがって、簡約化された拡大係数行列は

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 3 \\ 0 & 1 & 0 & | & -2 \\ 0 & 0 & 1 & | & 1 \end{bmatrix}$

となり、この行列から $x = 3$, $y = -2$, $z = 1$ がわかります。

3. 最終的な答え

ア: $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ （選択肢(う)）

イ: $x = 3, y = -2, z = 1$