与えられた式 $\frac{(a-b)^2 - c^2}{a^2 - (b+c)^2}$ を因数分解して、できる限り簡単にする。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{(a-b)^2 - c^2}{a^2 - (b+c)^2}$ を因数分解して、できる限り簡単にする。

2. 解き方の手順

まず、分子と分母をそれぞれ因数分解する。

分子は、$A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ の公式を利用する。

$A = a-b$, $B = c$ とすると、

$(a-b)^2 - c^2 = ((a-b) + c)((a-b) - c) = (a-b+c)(a-b-c)$

次に、分母も同様に因数分解する。

$A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ の公式を利用する。

$A = a$, $B = b+c$ とすると、

$a^2 - (b+c)^2 = (a + (b+c))(a - (b+c)) = (a+b+c)(a-b-c)$

したがって、与えられた式は

$\frac{(a-b+c)(a-b-c)}{(a+b+c)(a-b-c)}$

となる。

ここで、$a-b-c \ne 0$ ならば、分子と分母で $(a-b-c)$ が約分できる。

$\frac{(a-b+c)(a-b-c)}{(a+b+c)(a-b-c)} = \frac{a-b+c}{a+b+c}$

3. 最終的な答え

$\frac{a-b+c}{a+b+c}$