画像には、5つの異なる数学の問題が含まれています。 * **問5** 分数関数の問題が2つあります。 1. 漸近線が $x = 2$ 、 $y = -3$ で原点を通る分数関数の方程式を求めます。 2. $y = \frac{2}{x}$ を $x$ 方向に2、 $y$ 方向に3だけ平行移動した分数関数の方程式を求めます。 * **問6** 2次方程式の最大値または最小値と、それを与える $x$ の値を求めます。 1. $y = x^2 - 2x - 2$ (最小値) 2. $y = -3x^2 + 4x + 2$ (最大値) * **問7** 2次方程式に対して、$y = 0$ となる $x$ の値を求めます。 1. $y = x^2 - 2x - 2$ 2. $y = 3x^2 + 4x + 1$ * **問8** 点と直線の間の距離を求める問題です。 点(3, 4) と直線 $y = 2x + 1$ の間の距離を求めます。

1. 問題の内容

画像には、5つの異なる数学の問題が含まれています。

* **問5** 分数関数の問題が2つあります。

1. 漸近線が $x = 2$ 、 $y = -3$ で原点を通る分数関数の方程式を求めます。

2. $y = \frac{2}{x}$ を $x$ 方向に2、 $y$ 方向に3だけ平行移動した分数関数の方程式を求めます。

* **問6** 2次方程式の最大値または最小値と、それを与える $x$ の値を求めます。

1. $y = x^2 - 2x - 2$ (最小値)

2. $y = -3x^2 + 4x + 2$ (最大値)

* **問7** 2次方程式に対して、$y = 0$ となる $x$ の値を求めます。

1. $y = x^2 - 2x - 2$

2. $y = 3x^2 + 4x + 1$

* **問8** 点と直線の間の距離を求める問題です。

点(3, 4) と直線 $y = 2x + 1$ の間の距離を求めます。

2. 解き方の手順

* **問5-1**

漸近線が $x=2$ と $y=-3$ なので、求める関数は $y = \frac{a}{x-2} - 3$ の形をしています。

原点（0, 0）を通るので、$x=0$、 $y=0$ を代入すると、

$0 = \frac{a}{0-2} - 3$

$0 = -\frac{a}{2} - 3$

$\frac{a}{2} = -3$

$a = -6$

したがって、求める分数関数は $y = \frac{-6}{x-2} - 3$

* **問5-2**

$y = \frac{2}{x}$ を $x$ 方向に2、 $y$ 方向に3だけ平行移動すると、

$y - 3 = \frac{2}{x - 2}$

$y = \frac{2}{x - 2} + 3$

* **問6-1**

$y = x^2 - 2x - 2$ を平方完成します。

$y = (x - 1)^2 - 1 - 2$

$y = (x - 1)^2 - 3$

最小値は $x = 1$ のとき $y = -3$

* **問6-2**

$y = -3x^2 + 4x + 2$ を平方完成します。

$y = -3(x^2 - \frac{4}{3}x) + 2$

$y = -3(x - \frac{2}{3})^2 + 3(\frac{4}{9}) + 2$

$y = -3(x - \frac{2}{3})^2 + \frac{4}{3} + 2$

$y = -3(x - \frac{2}{3})^2 + \frac{10}{3}$

最大値は $x = \frac{2}{3}$ のとき $y = \frac{10}{3}$

* **問7-1**

$y = x^2 - 2x - 2 = 0$ を解きます。

解の公式より、$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)}$

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2}$

$x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2}$

$x = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2}$

$x = 1 \pm \sqrt{3}$

* **問7-2**

$y = 3x^2 + 4x + 1 = 0$ を解きます。

因数分解すると、 $(3x + 1)(x + 1) = 0$

したがって、$x = -\frac{1}{3}$ または $x = -1$

* **問8**

点 $(x_0, y_0)$ と直線 $ax + by + c = 0$ の距離 $d$ は、

$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

直線 $y = 2x + 1$ を変形すると、 $2x - y + 1 = 0$

点 (3, 4) と直線 $2x - y + 1 = 0$ の距離は、

$d = \frac{|2(3) - 4 + 1|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}}$

$d = \frac{|6 - 4 + 1|}{\sqrt{4 + 1}}$

$d = \frac{3}{\sqrt{5}}$

$d = \frac{3\sqrt{5}}{5}$

3. 最終的な答え

* 問5-1: $y = \frac{-6}{x-2} - 3$

* 問5-2: $y = \frac{2}{x - 2} + 3$

* 問6-1: 最小値 $y = -3$ ($x = 1$ のとき)

* 問6-2: 最大値 $y = \frac{10}{3}$ ($x = \frac{2}{3}$ のとき)

* 問7-1: $x = 1 \pm \sqrt{3}$

* 問7-2: $x = -\frac{1}{3}, -1$

* 問8: $\frac{3\sqrt{5}}{5}$