2次方程式 $x^2 + mx + m = 0$ が与えられています。この2次方程式が、(1) 異なる2つの虚数解を持つとき、(2) 異なる2つの実数解を持つとき、それぞれ定数 $m$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + mx + m = 0$ が与えられています。この2次方程式が、(1) 異なる2つの虚数解を持つとき、(2) 異なる2つの実数解を持つとき、それぞれ定数 $m$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の判別式 $D$ は、$D = b^2 - 4ac$ で与えられます。判別式を用いると、2次方程式の解の種類を判別できます。

* $D > 0$ のとき、異なる2つの実数解を持つ。

* $D = 0$ のとき、重解（実数解）を持つ。

* $D < 0$ のとき、異なる2つの虚数解を持つ。

与えられた2次方程式 $x^2 + mx + m = 0$ について、判別式 $D$ は次のようになります。

$a = 1$, $b = m$, $c = m$ であるから、

$$D = m^2 - 4(1)(m) = m^2 - 4m = m(m-4)$$

(1) 異なる2つの虚数解を持つとき、$D < 0$ である必要があります。

$m(m-4) < 0$

この不等式を解くと、$0 < m < 4$

(2) 異なる2つの実数解を持つとき、$D > 0$ である必要があります。

$m(m-4) > 0$

この不等式を解くと、$m < 0$ または $m > 4$

3. 最終的な答え

(1) 異なる2つの虚数解を持つとき： $0 < m < 4$

(2) 異なる2つの実数解を持つとき： $m < 0$ または $m > 4$