初項1、公比2、項数 $n$ の等比数列において、各項の和を $S$、積を $P$、逆数の和を $T$ とするとき、等式 $S^n = P^2T^n$ が成り立つことを証明する。

1. 問題の内容

初項1、公比2、項数 $n$ の等比数列において、各項の和を $S$、積を $P$、逆数の和を $T$ とするとき、等式 $S^n = P^2T^n$ が成り立つことを証明する。

2. 解き方の手順

まず、$S$, $P$, $T$ をそれぞれ具体的に求める。

$S$ は初項1、公比2、項数 $n$ の等比数列の和なので、

$S = \frac{1 \cdot (2^n - 1)}{2 - 1} = 2^n - 1$

$P$ は初項1、公比2、項数 $n$ の等比数列の積なので、

$P = 1 \cdot 2 \cdot 2^2 \cdots 2^{n-1} = 2^{0 + 1 + 2 + \cdots + (n-1)} = 2^{\frac{n(n-1)}{2}}$

$T$ は初項1、公比2、項数 $n$ の等比数列の逆数の和なので、逆数からなる等比数列は初項1、公比$\frac{1}{2}$、項数 $n$ となる。

$T = \frac{1 \cdot ((\frac{1}{2})^n - 1)}{\frac{1}{2} - 1} = \frac{(\frac{1}{2})^n - 1}{-\frac{1}{2}} = \frac{1 - (\frac{1}{2})^n}{\frac{1}{2}} = 2(1 - \frac{1}{2^n}) = 2 - \frac{1}{2^{n-1}} = \frac{2^n - 1}{2^{n-1}}$

次に、$S^n$ と $P^2T^n$ をそれぞれ計算し、それらが等しいことを示す。

$S^n = (2^n - 1)^n$

$P^2 = (2^{\frac{n(n-1)}{2}})^2 = 2^{n(n-1)}$

$T^n = (\frac{2^n - 1}{2^{n-1}})^n = \frac{(2^n - 1)^n}{2^{n(n-1)}}$

$P^2T^n = 2^{n(n-1)} \cdot \frac{(2^n - 1)^n}{2^{n(n-1)}} = (2^n - 1)^n$

したがって、$S^n = (2^n - 1)^n = P^2T^n$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$S^n = P^2T^n$ が成り立つ。